아그 다나 코크에서는 불가능한 호모 토피 유형 이론의 어떤 부분이 있습니까?

Homotopy Type Theory라는 책 을 보면 다음과 같은 주제를 볼 수 있습니다.

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are fibrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

이제 우리는 모든 homotopy type 이론이 Agda와 Coq 일 수는 없다는 것을 알고 있습니다.

내 질문은 : Agda 또는 Coq에서 불가능한 homotopy 유형 이론의 어떤 부분입니까?

당신이 보면 8 장에 대한 참고 사항 당신은 무엇을 볼 수 있다 이미 공식화되어, 나는 그 많은 것 같아요. Homotopy Type Theory의 큰 덩어리를 공식화 하는 Coq HoTT 라이브러리 와 Agda HoTT-Agda 라이브러리가 있습니다.

Coq에서 작업을 수행하려면 HoTT를 위해 패치 된 Coq의 특수 버전이 필요했습니다. 그러나 Coq는 homotopy type 이론을지지하는 방향으로 움직이고 있기 때문에 머지 않아 표준 Coq로 할 수있을 것입니다.

Agda에서는 --without-K옵션을 설정해야합니다. 그렇지 않으면 Agda는 모든 유형이 0 유형이라고 생각합니다. --without-K모든 것이 0 세트라는 가정을 실제로 제거 하는지 또는 패턴 일치를 까다롭게 사용하여 Agda에 다시 도입 할 수 있는지에 대한 의심이 남아 있습니다 .

Coq 및 Agda 형식화의 다음 측면은 만족스럽지 않습니다.

1. Univalence 공리는 가설로 명시되어 있습니다. 시스템에 내장되어 있으면 더 좋습니다. 특히 Coq와 Agda가 Univalence axiom에 대한 계산 규칙을 ​​이해하기를 원합니다.

2. 마찬가지로, 우리는 해킹을 사용하여 더 높은 유도 성 유형을 얻을 수 있습니다. 다시 한 번, 직접적인 지원을받는 것이 좋습니다.

위의 결점을 가진 문제는 아무도 이론적으로 문제를 해결하는 방법을 모른다는 것입니다. 이것은 활발한 연구 분야입니다.

그 외에는 HoTT 가 최적의 방법이 아닌 Coq와 Agda에서 대부분 이루어질 수 있다고 말하는 것이 공정하다고 생각합니다 .

내가 이해하는 한, Agda에서는 모든 것을 나타낼 수 있습니다 (즉, 2 장 모두-github에 라이브러리가 있습니다 .AFAIK는 Coq와 동일합니다). 나중에 장으로 갈 때 일이 멍청 해집니다. 두 가지 명백한 항목이 있습니다.

1. 동호회. 이것은 postulate을 사용하여 (Agda에서) 표현 되므로 다른 것만 큼 좋지 않습니다.
2. $\infty$-그룹. 그러나 이것은 무한히 많은 일관성 법칙을 유한하게 표현하는 방법에 대한 열린 문제입니다.

다른 항목들도 있지만, 아직 Agda 공식화 부분을 읽지 못했지만 ... HoTT의 대부분은 Agda와 Coq에서 잘 공식화 될 수 있습니다.

더 중요한 것은 두 개발자 팀이 시스템을 적응시키기 위해 적극적으로 노력하고 있기 때문에 최소한 필요한 기능을 구현하는 방법에 대한 명확한 이론이있을 때마다 더 많은 HoTT를 처리 할 수 ​​있다는 것입니다. 그것은 부분적으로 도전적인 것으로 판명되었습니다.