이것은 대수 포즈에 대해 동등한 조건입니까?

연속 격자 및 도메인 의 정의 대수 정의, 정의 I-4.2에 따르면 모든 에 대해$x \in L$

• 세트 는 지시 된 세트 여야합니다.$A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
• .$x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$

여기서 poset이며, K ( L은 ) 의 압축 요소의 집합 인 L은 한 ↓ X 수단 { Y | Y ⊑ X } .$L$$K(L)$$L$${\downarrow} x$$\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

나는 첫 번째 조건에 약간 놀랐습니다. 이 경우, 그 표시 쉬운 인자 인 및 k는 2 에 ( X ) 다음 K 1 ⊔ K 2 에서도 ( X ) . 따라서 비어 있지 않은 유한 A ( x ) 의 모든 하위 집합 에는 상한이 있습니다. 유일한 문제는 빈 부분 집합에 상한이 있는지, 즉 A ( x ) 가 처음에 비어 있지 않은지 여부 입니다. 그래서,$k_1$$k_2$$A(x)$$k_1 \sqcup k_2$$A(x)$$A(x)$$A(x)$

• 첫 번째 조건을 로 바꾸어도 괜찮 습니까?$A(x)$
• 가 비어 있는 상황의 예는 무엇입니까 ?$A(x)$

참고 사항 추가 : A (x)에서 는 어떻습니까? 먼저 k 1 ⊑ x 및 k 2 ⊑ x 이므로 k 1 ⊔ k 2 ⊑ x 입니다. 둘째, k 1 및 k 2 는 소형입니다. 따라서 "비정"으로 향하는 모든 지시 세트는 "통과"해야합니다. 방향성 집합 u 가 k 1 ⊔ k 2를 넘어서고 , 즉 k 1 ⊔ k 2 ⊑ ⨆ u를 가정 $k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqsubseteq x$$k_2 \sqsubseteq x$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$$k_1$$k_2$$u$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$. 이 초월 때문에 및 k는 2 , 즉 그것은, 요소가이를 통과해야 Y 1 , Y 2 ∈ U 되도록 K 1 ⊑ 예 1 과 k는 2 ⊑ 예 2 . 이후 유 방향성 집합이고, 그 상위 행 있어야 Y 1 및 Y 2 라고 Y를 . 이제 k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d 입니다. 이것은$k_1$$k_2$$y_1, y_2 \in u$$k_1 \sqsubseteq y_1$$k_2 \sqsubseteq y_2$$u$$y_1$$y_2$$y$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$ 는 소형입니다. 두 조각은 함께 k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) 라고 말합니다.$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

가 비어 있는 예 는 일반적인 순서를 가진 실수 R 세트입니다 . 컴팩트 한 요소가 전혀 없습니다.$A(x)$$\mathbb{R}$

$A(x)$$A(x) = \emptyset$$x$$L$$x \in A(x) = \emptyset$

$L$$\mathbb{N}$$\infty$$\iota_1(n)$$\iota_2(n)$$n$

• $\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
• $\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
• $x \leq \infty$$x$

$\infty$

1. ${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$

2. $x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$

3. ${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$