모든 독립 세트의 색상 수를 최소화하는 그래프 채색

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다음 주장이 알려져 있습니까?

제 : 임의의 그래프를 들면 와 정점의 색소가 존재 모든 독립적 인 세트가 많아야 의한 이러한 착색되는 $G$ $n$ $G$ 색상. $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— 이고르 신카
소스

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다음 제 나에게 공지되어 있지만 미공개 때문에 계산하지 수에 상관 그래프 정점 이렇게 착색 할 수있는 유도 된 서브 그래프 최대 색 수의 최대 사용 색, . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

이것은 귀납에 의한 증거입니다. 동기 부여는 그래프뿐만 아니라 모든 유도 된 하위 그래프에서도 색상을 거의 사용하지 않는 색상을 고려하는 것이 었습니다. 그래도 게시 된 결과는 알지 못합니다.

— 아 라빈 드
소스

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당신이 요구하는 것은 아니지만 여기에 하한선이 있습니다-모든 채색으로 인해 독립적 인 세트가 표시되는 그래프 색 : $\sqrt{n}$

가지고 사본 $\sqrt{n}$ , 그리고 하나의 정점에있는 모든 정점을 연결. $K_{\sqrt{n}}$ $s$

분명히, 모든 세트다른의 꼭지점은 독립적이며 모든사본에서 $\sqrt{n}$ $K$ 하나 이상의 "새로운"색상을 찾을 수 있습니다. $K_{\sqrt{n}}$

이 하한은 쉽게 향상 될 수 있습니다.연결하면 정도단일 꼭짓점에 연결하지만만 유지됩니다 $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ 색상. $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
소스

두 번째 예는 한계를 개선하지 않는 것 같습니다. 나는 어떤 IS가

사용하여 채색 될 수 있다고 생각합니다.

. 예를 들어, n = 9 인 경우

은 파란색으로,

는 녹색 및 빨강으로,

은 파란색, 녹색 및 빨강으로 표시됩니다. 최대 IS는 3 색이 아닌 2 색으로 표시됩니다.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

무슨 말인지 잘 모르겠습니다. 두 번째 예는 경계를 개선하지만 무증상은 아닙니다. ~

구성 할 수 있습니다

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

1

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

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$\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ $\alpha \geq \sqrt{n}$

— 수퍼 8
소스

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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

1

실제로 증명은 를 대체하여 작동해야합니다.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

(프로필 병합 요청에서) 메타는 그러한 요청을 게시하기에 좋은 장소입니다.

— Suresh Venkat