터미네이션이 불가능한 튜링 머신?

나는 순진한 질문이 있습니다 : 터닝 머신이 사실이지만 자연스럽고 일관되며 유한하게 액화 가능한 이론으로 입증 할 수없는 튜링 머신이 있습니까? 구체적인 예보다는 단순한 존재 증명을 요구합니다.

이것은 서수 분석 과 관련이있을 수 있습니다 . 실제로 튜링 머신 $M$ 우리는 정의 할 수 있습니다 $O(M)$ 종결을 증명하는 일관된 이론의 최소 서수 (또는 이러한 서수의 부정). 그래서 나는 그것이 존재하는지 묻는 것이 동등하다고 생각합니다. $M$ 그런 $O(M) \geq \omega_1^{CK}$ ?

turing-machines proof-theory halting-problem

— 수퍼 8
소스

정량화가 다른 방식으로 작동하지 않아야합니까? 단순히 TM X 정지를 공리로 추가하면 모든 입력에서 실제로 정지하는 모든 X에 대해 일관 적입니다 (문제가되는 TM에 대해서만 수행하면 유한합니다). 수량자가 역전 된 상태에서 입력이 공리 시스템의 일관성에 대한 증거가 아닌 경우 정지하고 그렇지 않으면 무한 루프에 들어가는 TM은 어떻습니까?

— 요나탄 N

당신의 제안은 흥미 롭습니다. 감사합니다. 질문을 작성할 때 귀하의 우려를 알고 있었기 때문에 요구 사항에 "자연"을 추가했습니다. 물론 문제는 우리가이 인공 건축을 배제 할 "자연"에 대한 공식적인 정의를 줄 수 있는지의 여부입니다.

— Super8

그것이 멈 추면 기계가 작동하고 유한 한 수의 단계로 정지하고 그 증거이며, 그 사실은 합리적으로 강력한 증거 시스템으로 변환 될 수 있기 때문에 대답은 아니오라고 생각하십시오. 반면에 고델의 증명할 수없는 thm을 중단하지 않는 기계로 인코딩 / 변환 / 번역 할 수 있다고 생각합니다. 이 질문은 비슷합니다 . 모든 입력에서 정지하는 TM이 있습니까

— vzn

튜링 기계를 만들 수 있습니다

M

$M$ Goodstein의 시퀀스 를 계산하는

G (n)

$G(n)$ 입력의

n

$n$ 도달하면 멈춤

0

$0$ . 중지

M

$M$ Peano 산술에서는 증명할 수 없습니다. 즉, Goodstein의 정리는 Peano axioms of arithmetic을 사용하여 증명할 수 없습니다. 참조 로리 커비, 제프 파리, 페 아노 산술에 대한 액세스 독립 결과 (1982)

— MARZIO 드 BIASI

고마워, 나는 그 항목을 몰랐다. 그래도 내가 요구하는 것은 더 강력합니다 .PA 와 같은 특정 이론이 아닌 합리적인 이론을 제시 할 수는 없습니다 . 그래도 질문에 명확한 대답이 있는지 확실하지 않습니다.

— Super8

답변:

튜링 머신의 종료 (고정 입력)는 $\Sigma^0_1$ 문장과 모든 일반적인 1 차 산술 이론은 $\Sigma^0_1$ 문장, 즉 모두 참 $\Sigma^0_1$ 이 이론들에서 진술이 가능하다.

정지 대신 에 전체 를 보면 , 즉 TM이 모든 입력에서 정지하면, 그것은 $\Pi^0_2$ -완전한 문장과 충분히 강력한 계산 가능한 일관된 이론에 대해 (예 : Robinson 's $Q$ 이론) 그 이론에서 전체 성을 입증 할 수없는 TM이있다.

— 카베
소스

그렇습니다. 물론 고정 입력에 대한 문제는 사소한 것이므로 전체 성을 찾고있었습니다. 나는 당신의 주장과 그것을 증명하는 방법에 대해 생각할 것이지만,이 시점에서 "계산 가능하게 axiomatizable"이론을 고려하는 것이 위에서 언급 한 문제를 어떻게 배제하는지 보지 못합니까? 또한, 당신의 진술에서 TM은 고려 된 이론에 달려 있습니다.

— Super8

다음과 같은 쉬운 방법이 있습니다. 그러한 이론의 입증 가능한 총 계산 함수 집합이 ce이거나, 총 계산 함수의 집합이 ce가 아니거나, 이론적으로 이론의 전체 기능에 대해 대각화할 수 있습니다.

— Kaveh

다시 생각해 보면 다음과 같이 문제의 제한을 고려하는 것이 좋습니다. 서수 표기법이 주어짐

σ

$\sigma$ 서수를 나타내는

α

$\alpha$ "초등 이론"을 정의 할 수 있습니다

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ 그것은 무한한 유도를

α

$\alpha$ . 주어진 TM

M

$M$ 그런 다음 정의합니다

O (M)

$O(M)$ 가장 작은 서수

α

$\alpha$ 의 종료

M

$M$ 이론으로 증명 될 수있다

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ (즉, 표기법 시스템을 자유롭게 선택할 수 있습니다). 이 정의가 의미가 있습니까?

— Super8

@ Super8, 확실하지 않습니다. 일반적으로 서수와 이론의 연관은 정식이 아니며, 연관시키기 위해 여러 가지 방법이 있습니다. PRA와 같은 약한 이론으로 시작하여 훌륭한 기본 시퀀스 등으로 계산 가능한 서수에 대해 유도를 추가 할 수는 있지만 왜 그렇게하고 싶은지 잘 모르겠습니다.

— Kaveh

좋아, 나는 문제를 깨닫지 못했고, 그때 내 스스로 더 나은 정의를 찾으려고 노력할 것이다.

— Super8

나는 논리 전문가는 아니지만 대답은 ' 아니오' 라고 믿는다 . 만약 튜링 머신이 멈추고 시스템이 충분히 강력하다면, 입력에 튜링 머신의 전체 계산 이력을 쓸 수 있어야합니다. 계산 결과가 일련의 종료 전이임을 검증하면 기계가 정지한다는 것을 알 수 있습니다. 이론에서 튜링 기계를 공식화하는 방법에 관계없이 중단 된 기계가 실제로 정지한다는 합리적인 이론을 보여줄 수 있어야합니다. 유추하여, 유한 한 합이 그것과 같다는 것을 증명하려고 노력하십시오. 예를 들어, 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42 또는 5 + 5 + 5 = 15임을 증명하십시오. 단계 수가 유한 한 한 이것이 항상 가능한 것처럼 유한 계산 결과도 입증합니다.

이론이 일치하지 않더라도 기계가 멈추는 것을 보여줄 수있는 추가 명백한 점과 마찬가지로, 기계의 작동 여부에 관계없이 일관성이없는 이론에서 wff를 증명할 수 있기 때문에 실제로는 기계가 정지 함을 보여줄 수 있습니다 사실입니다.

— 필립 화이트
소스

첫 번째 요점에 동의합니다. 아래의 답장을 참조하십시오. 두 번째 요점과 관련하여 일관성없는 이론은 일관성있는 이론에 대한 제한이있을 때 (실제로 종결되지 않는) TM이 종료되었음을 증명합니다.

— Super8

우리도 같은 말을하고 있다고 생각합니다. 방금 질문에 "일관 적"이라고 말한 것을 발견했습니다. Kaveh의 대답은 똑같은 내용을 모두 포함하며 어쨌든보다 우아하게 작성되었습니다.

— Philip White