과반수 함수의 회로 복잡성

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하자 대부분의 기능 즉, 수 경우에만, . 다음 사실에 대한 간단한 증거가 있는지 궁금합니다 ( "단순"이란 Valiant 84와 같은 확률 적 방법이나 네트워크 정렬에 의존하지 않음을 의미합니다. 바람직하게는 회로의 명시적이고 간단한 구성을 제공합니다). $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

는 깊이, poly (n) 크기의 회로 제품군으로 계산할 수 있으며, 여기서 게이트는 NOT 게이트, 2- 입력 OR 게이트 및 2- 입력 AND 게이트로 구성됩니다. $f$ $O(\log(n))$

— matthon
소스

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이 관심의 대상이 될 수 있습니다 : 이고르 서지 브, 대부분의 함수의 공식 크기 위 경계 ; 또한 여기에서 그는 약간 더 나은 상한을 발표합니다. 당신은 단지에 대해 물어 경우, 회로 (안 공식 다음) 이고르는, 생각 나게으로, 모든 대칭 부울 기능 (뿐만 아니라 대부분의) 깊이의 회로가

및 크기

단지의 합을 계산을 :

s,

변수 의 부울 함수를 실현 합니다. 대부분의 경우이 후자의 함수는

과 비교됩니다.

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

.

n / 2

$n/2$

— Stasys

@Stasys와 하나의 수를 계산하는 것은 본질적으로 비트를 정렬하는 것입니다.

— Kaveh

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Kaveh의 답변은 귀하가 언급 한대로 질문에 대한 답변을 제공합니다 (그리고 이것은 이 포함되어 있음을 보여주는 일반적인 증거입니다 ). 그러나 나는 당신이 실제로 약간 다른 질문을 할 의도가 있다고 생각했습니다. 즉, 대부분 의 명시 적 다항식 크기 모노톤 공식입니다. $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

대다수가 모노톤이므로 모노톤 공식으로 계산할 수 있습니다. 다항식 크기의 모노톤 공식에는 두 가지가 있습니다. 즉, Valiant의 확률 론적 구조와 정렬 네트워크를 통한 구조입니다. 내가 아는 한, 분류 네트워크에서 제공하는 것보다 단순한 결정 론적 구성은 없습니다.

이것과도 관련이 있습니다. 대다수는 게이트 로만 구성된 상수로 상수 로 계산할 수 있습니다 . Valiant의 확률 적 구성은 깊이의 공식을 제공하도록 구성 될 수 있습니다 . 그러나 여기서 우리는 결정 론적 구성이 없다는 것을 알고있었습니다. 특히 분류 네트워크는 이에 적합하지 않습니다 (기술적 인 이유 : 모든 임계 값 기능을 제공하고 대부분의 기능 만 게이트 로 계산할 수 있음 ). 그러나 논문에 주어진이 질문에 최근 진행 상황이 있습니다 $\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ Cohen et al.의 Log-Depth Threshold Formulas를 통한 효율적인 다자간 프로토콜 여기서 이러한 공식은 표준 복잡도 이론 또는 암호 가정을 기반으로 한 구성입니다.

— 크리스토퍼 안스 펠트 한센
소스

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컴퓨팅 제한 임계 값 게이트 ( )는 본질적으로 입력 비트를 정렬하는 것입니다. $\sum_i x_i \geq k$

비트를 정렬 할 수 있으면 결과를 와 쉽게 비교하고 제한된 임계 값을 계산할 수 있습니다. $k$

반면에 제한된 임계 값을 계산하는 회로가 있다고 가정하십시오. 병렬 검색을 수행하여 입력에서 하나의 수를 찾고 정렬 된 목록을 출력 할 수 있습니다.

이것들은 회로 깊이를 유지합니다. 따라서 제한된 임계 값을 계산하기 위해 새로운 회로를 만들면 깊이 정렬 회로가 제공됩니다. 따라서 대다수가 에 있다는 간단한 주장이 나오면 간단한 깊이 분류 회로 (AKS 분류 네트워크를 기반으로 한 것 이외)를 발견했습니다. $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

다수의 게이트에 새로운 1 및 0 입력을 추가함으로써 다수를 사용하여 제한된 임계 값을 쉽게 구현할 수 있습니다.

이전에이 답변은 나누기와 정복을 사용하여 수행 할 수 있으며 이진 추가가 에 있다는 사실을 주장했습니다 . 그것은 우리가 직접 바이너리 바이너리를 추가 할 때 무한 팬인 게이트를 가지고 있기 때문에 대다수가 및 에 있음을 보여줍니다 . 그러나 조금 더 많은 작업으로 수행 할 수 있습니다. $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

깊이 를 유지하려면 3 대 2 라는 트릭을 사용해야합니다 . $O(\lg n)$

위한 세 개의 이진 추
세 이진수 주어진 우리가 두 개의 이진수를 계산할 수는 되도록 . $a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

또 다른 방법은 깊이 및 팬인 2에서 덧셈을 수행 할 수있는 정수의 부호있는 숫자 표현 을 사용하는 것입니다. 운반하지 않습니다). $O(1)$

섹션 4와 연습 4를 참조하십시오.

David Mix Barrington과 Alexis Maciel, " 전산 복잡성 고급 과정 ", 강의 6, IAS / PCMI, 2000.

— 카베
소스

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

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$n$

Brodal과 Husfeldt 는 대칭 기능이 로그 깊이를 가지고 있다는 의사 소통 복잡성에 대한 대안적인 증거를 제시합니다 . 다시 한 번 증명은 기본이며 명시 적 구성을 제공합니다.

— 알렉산더 S. 쿨리 코프
소스