자연 이론은“고 확률”로만 증명 되었습니까?

무작위 "증거"가 결정 론적 증거보다 훨씬 쉬운 상황이 많이 있으며, 표준 예는 다항식 신원 테스트입니다.

질문 : 무작위 증거는 알려져 있지만 결정론적인 증거는없는 자연적인 수학적 "정리"가 있습니까?

진술 의 "무작위 증명"에 의하면 $P$

거기에 입력을 받아 무작위 알고리즘 그리고 만약 거짓의 결정적 증거 생성 확률 이상으로 . $n > 0$ $P$ $\neg P$ $1-2^{-n}$
누군가가 대한 알고리즘을 실행 했으며 정리를 반증하지 않았습니다. $n = 100$

적합한 자연스럽지 않은 문장을 쉽게 생성 할 수 있습니다. 효율적인 무작위 알고리즘 만 알려진 문제의 큰 인스턴스 만 선택하면됩니다. 그러나 Riemann 가설과 같이 "많은 수치 적 증거"를 가진 많은 수학적 이론이 있지만 위의 형태에 대한 엄밀한 무작위 증거는 전혀 모른다.

— 제프리 어빙
소스

@Kaveh : 카테고리 수정에 감사드립니다. 나는 그것을 무엇에 넣을 지 확신하지 못했습니다.

— Geoffrey Irving 1

또 다른 방향은 "무작위 화"문학을 연구하는 것입니다. 상대적으로 최근에 수상한 Reingold 정리 도 그렇지 않은가 (증거 이전)?

— vzn

ERH에 관한 결정 론적 증거에 관한 문제는 (프라임과 같은)이 속성을 가질 것입니다

— Suresh Venkat

유감스럽게도 말할 수는 있지만 자연 스럽거나 그렇지 않은 그러한 진술이있을 수 없으므로 귀하의 질문이 의미가 있다고 생각하지 않습니다. 당신은 N이 좋은 예라고 여겨지는 프라임이라고 말하지만 (물론) 항상 소수성에 대한 결정 론적 증거가 항상 있습니다. 또한 하나의 수정 문을 반증 해야하는 알고리즘의 성공 확률을 어떻게 정의 할 것인지 상상할 수 없습니다. 어쩌면 당신은 문제의 클래스에 대한 효율적인 증거를 요구하기를 원할 것입니다 (즉, 입력은 P와 n이고 문장 P (n)입니다). 그러나 우리는 복잡한 이론과 BPP의 정의에 도달합니다.

— domotorp

domotorp : 알고리즘이 제한된 수의 임의의 비트를 사용한다고 가정하면 이러한 임의의 증명은 일부 성능 비용으로 무차별 화 될 수 있습니다. 그러나 나는 결정적 증거가 현재까지 실행되지 않았고 무작위 증거가있는 동안 성능 비용이 충분히 높은 예에 대해 묻고 있습니다. 이 맥락에서 정의가 의미가 있다고 생각합니다.

— Geoffrey Irving

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ 이것은 당신이 요구하는 것의 예가 아니지만, 그러한 예가 어떻게 일어날 수 있는지를 제안합니다. 일부 조합 신원은 경계도 다항식에 대한 신원으로 인코딩 될 수있다 . 다항식이 일 변량 인 경우 항등을 증명하기 위해 포인트 에서이를 확인하기에 충분합니다 . 그러나 다항식이 다변량이고 정도가 중간 정도이면 Scwartz-Zippel lemma 가 신원을 확인하는 유일한 실용적인 방법 일 수 있습니다. $d$ $d+1$

일 변량 사례의 예를 보려면 Zeilberger 가이 기사 를 확인하여 Knuth의 문제를 해결하십시오. 그는 순열 통계에 대한 진술을 증명합니다. 순열 경우 숫자 의 역수를 주요 지수 를 $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ 세트의 모든 정수의 합으로 설정하십시오. $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ . Zeilberger는 모든 에 대해 두 통계량의 공분산이 $n$

모든 기대 위에 균일 랜덤 어디의. Zeilberger의 증명은대한 컴퓨터 검증 일 뿐이며,이 진술이최대도의다항식 사이의 동일성에 해당한다는 관찰입니다.

E [(inv (π) - E [inv (π)]) \cdot (maj (π) - E [maj (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{n}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— 사쇼 니콜 로프
소스

고마워, 그것은 멋진 기사입니다. 나는 도덕을 아주 좋아합니다.

— Geoffrey Irving