임의의 대칭 함수 바보

분 j 알려져 ε 함수 -fool F를 경우 | E X ∈ U ( F ( X ) ) - E X ∈ D ( F ( X ) ) | ≤ ϵ . 그리고 해당 클래스의 모든 함수를 속이는 경우 함수 클래스를 속이는 것으로 알려져 있습니다. 것으로 알려져있다 ε -biased 공간 집합을 통해 패리티의 클래스를 바보. ( Alon-Goldreich-Hastad-Peralta 참조)$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$그런 공간의 멋진 건축을 위해). 내가 묻고 싶은 질문은 이것을 임의의 대칭 함수로 일반화하는 것입니다.

질문 : 일부 하위 집합에 대해 임의의 대칭 함수 클래스를 사용한다고 가정합니다 . 이 클래스를 속이는 분포 (소규모 지원)가 있습니까?

몇 가지 작은 관찰 :

• 정확한 임계 값 바보에 충분하다 ( 1을 경우에만, x는 정확히이 K 의 인덱스 사이에 사람 S를 ). 임의 유통 ε는 이러한 정확한 임계 값을 -fools는 것 N ε 을 통해 모든 대칭 기능을 바보 N 비트. (이는 모든 대칭 함수가 조합의 계수가 0 또는 1 인 이러한 정확한 임계 값의 실제 선형 조합으로 작성 될 수 있기 때문입니다. 기대의 선형성이 우리에게 원하는 것을 제공합니다) 유사한 인수도 일반 임계 값에 적용됩니다 ( Th S k ( $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  한 경우에만, X는 적어도 갖는 유전율 의 지표 사이 것들을 S )$\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$$S$

• 지원 분포의 명시 적 구조가 을 통해 LOGSPACE에 대한 니산의 PRG는 .$n^{O(\log n)}$

• 임의의 공백이 작동하지 않습니다 -biased. 예를 들어, S 가 모든 x 의 집합이므로 x 에있는 숫자의 수가 0이 아닌 mod 3이면 Arkdev Chattopadyay 의 결과 에서 실제로 는 매우 작은 ϵ에 대해 ϵ 바이어스됩니다 . 그러나 분명히 이것은 MOD3 기능을 속이지 않습니다.$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

흥미로운 하위 문제는 다음과 같습니다. 모든 n 인덱스 에 대해 대칭 함수를 속이려한다고 가정 해 봅시다 . 멋진 공간이 있습니까? 위의 관찰에 의해, 우리는 단지를 통해 임계 기능을 속일 필요가 의 바로 가족이다, -bits N + 1 개 기능. 따라서 무차별 대입 방식으로 분포를 선택할 수 있습니다. 그러나 모든 k에 대해 Th [ n ] k 를 속이는 공간의 더 좋은 예가 있습니까?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

예,이 문제에 대한 일반적인 솔루션은 최근 파 릭싯 팔란, 라구 Meka, 오메르 레인 골드, 다윗 Zuckerman에 의해 부여 된 참조 조합 적 모양에 대한 의사 랜덤 발생기를 .

이 논문은 발전기가 log m- 비트 블록을 출력 하고 임의의 부울 함수 로 공급되고 n 개의 출력이 부울 대칭 함수로 공급되는 훨씬 일반적인 설정을 처리합니다 .$n$ $\log m$$n$

다양한 하위 사례가 이미 알려져 있습니다. 예를 참조 모듈 금액을 바보 그건 의사 랜덤 비트 발생기 , 경계 독립 바보 Halfspaces 및 다항식 임계 값 기능에 대한 의사 랜덤 발생기 . 첫 번째는 모듈로 합을 처리합니다 . 두 번째와 세 번째는 언급 한 임계 값 테스트를 정확하게 처리하지만 모든 대칭 함수에 대한 결과를 얻기 위해 추론을 적용하기에는 오류가 충분하지 않습니다.$p$