최근에 BSS 계산 모델을 연구하고 있습니다 (예 : 복잡성 및 실제 계산; Blum, Cucker, Shub, Smale 참조).
실수 , 다항식 f 1 , ⋯ , f m ∈ R [ x 1 , ⋯ , x n ] 시스템 에서 0의 존재는 N P R- 완전 함을 나타냅니다. 그러나, 만약 그 f 가 다항식이라면 정수 계수, 즉 f 1 , ⋯ , f m ∈ Z [ x 1 , ⋯ , x n ] 만 가지고 있는지 궁금합니다 ., 여전히 문제 hard입니까? ( N P R에 있음 ).
나는 그렇다고 생각하지만 간단한 증거가 있습니까?
답변:
나는 P R ≠ N P R을 가정 할 때 대답이 ' 아니오 '라고 생각합니다 (아래에 증거를 제시한다고 생각하지만 여기에는 내 주장에 대해 신중하게 생각할 수있는 잠재적으로 이질적인 정의 문제가 충분합니다).
가정 한 답이 없다고 증명 : 실제로, 나는 다음과 같은 더 강력한 진술이 있다고 믿는다.
보조 정리 : 어떤 BSS 결정 문제를 들어 위에 R , 만약 L 폴리 시간 BSS R은 정수 입력 한 다음에 문제를 감소 L ∈ P R .
정리의 증거 : 기계 M에 의해 주어진 L 에서 정수 입력의 문제 로 다항식 시간 BSS R이 감소 했다고 가정하자 . n 개의 실제 매개 변수 로 구성된 입력의 경우 , M 의 계산을 대수 계산 트리로 전개하십시오 . 잎은 유한하게 많으며 각 잎의 결과는 입력 매개 변수에서 단일 합리적 함수입니다. 실제 입력의 합리적인 함수가 항상 정수 값을 출력하려면 상수 함수 여야하므로 입력에 의존하지 않아야합니다. 그러나 각 리프에서 사용되는 일정한 기능은 물론 가지에 따라 다릅니다. 그러나 M 은 균일 한 기계이므로 O 만있을 수 있습니다 출력 노드, 따라서 O ( 1 ) 출력 값만. 따라서 M 은 사실상다항식 시간에서 L 을결정하도록 간단하게 수정 될 수 있습니다. QED
이제 을 실제 다항식의 실현 가능성으로 삼으십시오. 경우 P R ≠ N P R은 다음 L ∉ P R 및 표제어로로부터 환원 없다 L 정수 입력상의 문제는 (특히, 실제 타당성을 정수 다항식).
약속 문제 문제? : 귀하의 질문에 대한 또 다른 잠재적 인 문제는 정수 다항식 의 실제 가능성은 이 아니라 약속 버전에만있을 수 있다는 것입니다. 여기서 문제는 입력 (예를 들어 다항식 f i 의 계수 )이 x 의 크기에 따라 달라지는 정수 시간인지 확인하는 반면 인스턴스 세트 (예 인스턴스뿐만 아니라 모든 인스턴스)에 대한 것입니다. N P R의 결정 문제에 decidable되어야 P R , 그것은 다항식에 시간이 걸리는 것을 의미 후자 의 파라미터 번호그리고 그들의 규모가 아닙니다. 이것은 정수가 실수 내에서 정의 할 수 없다는 사실과 밀접한 관련이 있다고 생각합니다. (본질적으로 BSS 최고의 R은 입력 경우 -machine 테스트 할 수있는 X는 정수의 정수 부분을 계산하는 것이다 (X)을 의 제곱 계산하여 2 및 하 "이진 검색한다."는의 정수 부분 계산 일단 X를 , 그것을 그와 같은지 여부를 단지 검사 X .) I는 실제 타당성의 probleam 생각 그래서 정수 방정식에있는 P R O m I S E N P R 뿐만 아닐 N (또는 적어도 그것 것을 증명 사소 보인다 N P R ).