단순히 입력 된 람다 미적분학에서 함수 평등을 결정하는 알고리즘?

우리는 단순히 입력 된 람다 용어의 베타-균등성이 결정 가능하다는 것을 알고 있습니다. M, N : σ → τ가 주어지면 모든 X : σ, MX $≃_β$ NX에 대해 결정 가능한가 ?

내 의견에서 말했듯이 일반적으로 대답은 아니오입니다.

이해해야 할 중요한 점 (이것들에 대해 배우고있는 것으로 보이는 Viclib의 경우)은 모든 프로그램 / 계산이 종료되지 않는 프로그래밍 언어 / 기계 세트를 갖는 것이 기능 평등을 의미하지 않는다는 것입니다. 프로그램 / 기계는 같은 기능을 계산) 결정 가능합니다. 쉬운 예 : 폴리 노미 클식 튜링 머신 세트를 사용하십시오. 정의에 따라 이러한 모든 시스템은 모든 입력에서 종료됩니다. 이제 어떠한 튜링 기계 주어진 , 튜링 기계가 입력에 문자열 주어진 것을 , 시뮬레이트고정 입력 에서 계산 단계 (예 : 빈 문자열) 및 종료되는 경우 수락M 0 x | x | M M | x | N M 0 N M 0 N $M$$M_0$$x$$|x|$$M$$M$$|x|$단계, 그렇지 않으면 거부합니다. 이 항상 즉시 거부하는 튜링 기계 인 경우 과 은 모두 명백하게 polynomially-clocked이지만 과 이 동일한 기능을 계산 하는지 여부를 결정할 수 있다면 (또는이 경우 동일한 언어를 결정), 빈 문자열에서 (임의의 튜링 머신 임)이 종료 되는지 여부를 결정할 수 있습니다 .$N$$M_0$$N$$M_0$$N$$M$

간단하게 입력 된 -calculus (STLC)의 경우, STLC의 표현력을 측정하는 것이 위의 경우만큼 사소하지 않다는 점을 제외하고는 비슷한 주장이 작동합니다. 내 의견을 쓸 때, 나는 90 년대 초부터 Hillebrand, Kanellakis 및 Mairson의 몇 가지 논문을 염두에 두었습니다. 이는 일반적인 교회 정수 유형보다 더 복잡한 유형을 사용하면 STLC로 충분히 복잡한 것을 인코딩 할 수 있음을 보여줍니다 위의 인수가 작동하도록 계산합니다. 실제로 필요한 자료가 이미 Statman 정리에 대한 Mairson의 단순화 된 증거에 있음을 알았습니다.$\lambda$

Harry G. Mairson, Statman 정리의 간단한 증거. 이론적 컴퓨터 과학, 103 (2) : 387-394, 1992. ( 여기에서 온라인으로 이용 가능 ).

이 논문에서 Mairson은 Turing machine 주어지면 간단한 형태의 와 -term 가 의 전이 함수를 인코딩 함을 보여줍니다 . (교회 정수에 대한 STLC의 표현력이 극도로 열악하다는 것을 명심한다면, 이것은 선험적으로 분명하지 않다. 실제로, Mairson의 인코딩은 즉각적이지 않다). 이것으로부터 용어를 구성하는 것은 어렵지 않습니다σ λ δ M : σ → σ $M$$\sigma$$\lambda$$\delta_M:\sigma\rightarrow\sigma$$M$

$t_M:\mathtt{nat}[\sigma]\rightarrow\mathtt{bool}$

(여기서 에 실체화 교회 정수의 종류)가되도록 위해 감소 의 경우 최대에서 종결 단계 때 빈 문자열을 먹이거나 그렇지 않으면 입니다. 위와 같이 으로 표시되는 함수 가 상수 함수라고 결정할 수 있다면 빈 문자열 에서 의 종료를 결정했을 것 입니다.$\mathtt{nat}[\sigma]$$\sigma$$t_M\,\underline{n}$$\underline{1}$$M$$n$$\underline{0}$$t_M$$\underline{0}$$M$