얼마나 많은 3-SAT 사례를 만족할 수 있습니까?

28

n 개의 변수에 대한 3-SAT 문제를 고려하십시오. 가능한 고유 한 절 수는 다음과 같습니다.

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

문제 인스턴스의 수는 가능한 한 조항들 세트의 모든 부분 집합의 수이다 : . 당연히, 각 , 적어도 하나의 만족스러운 인스턴스와 하나의 불만족스러운 인스턴스가 존재합니다. 주어진 n에 대해 만족할만한 인스턴스 수를 계산하거나 적어도 추정 할 수 있습니까? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— 안토니오 발레리오 미 셀리-바론
소스

관련 질문 cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

계산 공식을 얻는 방법을 설명 하시겠습니까? 3은 어디에 있습니까! 등에서 온?

— Yan King Yin

또 다른 초보자 질문 : 총 구성 수 (즉, 진실 할당)가

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$ 인 경우 이는 많은 진실 할당을 문제 인스턴스가 표현할 수 없음을 의미합니다. 그것은 부울 공식이 모든 진리표를 표현할 수 있다는 의미에서 완전하다는 내 지식에 반 직관적입니다. 여기서 캐치는 무엇입니까?

— Yan King Yin

27

SAT의 위상 전이에 대한 오랜 역사는 고정 $n$ 에 대해 만족도를 결정하는 절 수 대 의 비율로 매개 변수화 된 임계 값이 있음을 보여주었습니다 $n$ . 대략적으로, 비율이 4.2 미만이면 압도적 인 확률로 인스턴스를 만족시킬 수 있습니다 (따라서 많은 수의 절과 변수를 가진 인스턴스 수의 상당 부분이 만족 가능합니다). 비율이 4.2보다 약간 높으면 그 반대가 유지됩니다. 인스턴스의 압도적 인 비율은 만족스럽지 않습니다.

참고 문헌은 너무 많이 인용 할 수 없습니다. 정보의 한 출처는 Mezard와 Montanari 의 저서 입니다. 이 주제에 대한 설문 조사 등의 출처가있는 사람은 의견에 게시하거나이 답변을 편집 할 수 있습니다 (CW 작성).

참고 :
- Achlioptas 조사
- 정말 어려운 문제가있는 경우
- 조합 검색에서의 위상 전환을 정련

— Suresh Venkat
소스

매우 흥미 롭습니다. "압도적 인 확률"은 무엇입니까? 이것은 75 % 또는 99.9999 %와 같은 것입니까?

— Philip White

솔직히 기억하지 않습니다. 전환 지점에서 비율의 거리에 의해 매개 변수화되고 S 자형처럼 작동합니다 (따라서 1로 매우 빠릅니다). 연결된 설문 조사는 아마도 더 자세 할 것입니다

— Suresh Venkat

1

@Philip, Suresh : 그렇습니다. 매우 빠른 "불연속"입니다. 그림을 보면 만족할 확률이 거의 1에서 거의 0으로 갑자기 바뀝니다 . 임계 값이 의존한다는 것은 흥미 롭습니다 . 또한이 모든 동작이 임의의 인스턴스에만 적용되는 것 같습니다.

k

$k$

— Giorgio Camerani

17

한편, 사례의 대다수는 Suresh의 의견에서 말한 것처럼 만족스럽지 않습니다. (실제로, 하나의 인스턴스를 무작위로 무작위로 샘플링하는 경우, 8 개의 부정을 모두 변수 트리플에 대한 절로 포함시킬 가능성이 높을 것입니다. $2^{|C|}$

다른 한편으로, 우리는 만족할 수있는 인스턴스 수를 모두 0으로 할당하여 충족되는 수로 하계 할 수 있습니다. 변수의 모든 삼중 항에 대해 우리가 사용할 수없는 한 절입니다. $2^{(7/8)|C|}$

그런 다음 이것을 으로 곱하여 만족스러운 인스턴스 수를 상한으로 만들 수 있습니다 . 이후 ,이는 이미 작은 차 용어를 변경 같아요 ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— 매그너스 월 스트롬
소스

박사 과정을 처음 시작할 때, SAT에 대한 조항 수가 보다 크면 해당 사례가 만족스럽지 않다는 것을 보여주었습니다 . 또한 절 수가 간격 사이에 있으면 해당 인스턴스가 고유하게 만족 스럽거나 불만족스러운. 나는 머리 꼭대기에서 3-SAT의 유도를 기억하지 못한다. Ok

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun Pay

4

이 답변은 만족할만한 인스턴스 수의 증가 속도 만 다룹니다.

세트 의 n 비트 문자열 수가 (일부 상수 )에 의해 제한되면 세트 는 희소합니다 . 그렇지 않으면 밀도가 높습니다. 만족도 (NP- 완료) 및 불만족도 (CoNP- 완료)는 모두 조밀 한 세트 인 것으로 알려져있다. 희소 세트 iff 있습니다. $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스