파이의 계산 복잡성

방해

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(여기서 n 은 이진수로 인코딩 된 것으로 간주됩니다). 그러면 L 의 계산 복잡성에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? L ∈ E X P는 분명합니다 . 내가 실수 하지 않으면 이전 비트를 계산할 필요없이 준 선형 시간과 ( log n ) O ( 1 ) 메모리를 사용하여 π 의 n t h 비트 를 계산 하는 놀라운 "BBP 유형"알고리즘 은 L ∈ 을 산출합니다. P S P C E .$n$$L$$L\in\mathsf{EXP}$$n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

우리가 더 잘 할 수 있고 계산 계층에 L (예 : L )을 배치 할 수 있습니까 ? 다른 방향에서의 경도에 대한 결과가 전혀 L (심지어 같은 극히 미약 한 T C 0 - 경도는)?$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

흥미로운 관련 언어는

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(여기서 t 는 이진수로 쓰여집니다). 우리는$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

따라서 L ' ∈ P S P A C E ; 더 나은 것이 있으면 매우 흥미로울 것입니다.$L' \in \mathsf{PSPACE}$

James Lee는 Samir Datta와 Rameshwar Pratap의 2011 년 논문 에서 저의 언어 L ( π 의 자릿수 인코딩 )이 계산 계층의 네 번째 수준 ( P H P P P P P P ; 논문에서 누락 된 P P 를 지적 해 주신 아래 SamiD에게 감사드립니다 .이 답변에 간단히 반복했습니다!). 이 논문은 명시 적으로 내 질문에 대해 설명 낮은 단지의 이진수 계산 행 매우 약한 낮은 증명하기 위해 관리하지만, 무리수의 이진수 계산의 복잡성에 대한 경계를 합리적를$L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$번호. 이것이 바로 내가 찾던 것입니다.

업데이트 (4 월 3 일) : 계산 계층 구조에서 계산할 수있는 π 숫자의 재미있는 결과는 다음과 같습니다. 한다고 가정 π는 (그의 이진 빠르게 팽창 수렴 "을 효과적으로 무작위"로) 보통 숫자이고, 그 가정 P = P P (극히 다항식 오버 헤드를 포함하는 시뮬레이션). 그런 다음 컴퓨터를 프로그래밍하여 예를 들어 π 의 이진 확장에서 셰익스피어의 전체 작품이 처음 나오는 것을 찾을 수 있습니다. 그 말이 당신에게 어리석은 소리라면, 아마도 P ≠ P P 라는 추가적인 증거로 여겨 져야 할 것 입니다. :-)$\pi$$\pi$$\mathsf{P} = \mathsf{PP}$$\pi$$\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$