단일성을 일시 중단하면 정확한 "양자"컴퓨팅이 얼마나 강력합니까?

짧은 질문.

비 일관 적이지만 여전히 가역적 인 게이트를 허용하고 출력이 확실하게 정답을 제공해야하는 경우 "양자"회로의 계산 능력은 무엇입니까?

이 질문은 회로가 단일 게이트 이상을 사용하도록 허용 할 때 클래스에 어떤 일이 발생하는지에 대한 의미 입니다. (우리는 잘 정의 된 계산 모델을 원할 경우 여전히 통한 가역 게이트로 제한해야합니다 .)$\mathsf{EQP}$$\mathbb C$

(이 질문은 단일 사례에서 그러한 회로에 대한 알려진 결과에 대한 나의 혼란을 반영하여 약간의 수정을 거쳤다.)

"정확한"양자 계산 정보

나는 이 질문을 위해 를 균일 양자 회로 제품군에 의해 정확하게 풀 수있는 문제의 클래스로 정의한다. 입력 문자열$\mathsf{EQP}$$1^n$ 각 입력 크기 에 대해 )을 지정 $n$하고 지정된 네트워크로서의 회로 레이아웃을 다항식 시간으로 생성 할 수도 있습니다. "정확하게"해결되었으므로 출력 비트를 측정하면 $|0\rangle$ NO 인스턴스에 대한 확실성, 및과 $|1\rangle$ YES 인스턴스 확실.

주의 사항 :

• 단일 게이트로 제한 되더라도, 이러한 개념은 $\mathsf{EQP}$양자 튜링 기계를 사용하는 Bernstein 및 Vazirani가 설명한 것과 다릅니다. 상기 정의는 허용 회로 군 $\{ C_n \}$ 원칙적으로 무한한 게이트 세트 갖도록 - 각 회로 $C_n$ 단 당연히, 한정된 일부를 사용하여 - 게이트는 유효 입력으로부터 계산되어 있기 때문이다. (양자 튜링 머신은 원하는 유한 게이트 세트를 시뮬레이션 할 수 있지만 유한 한 수의 전이만 있기 때문에 유한 게이트 세트 만 시뮬레이션 할 수 있습니다.)

• 이 계산 모델은 모든 문제를 사소하게 만듭니다 $\mathsf P$. 왜냐하면 단일은 어떤 문제에 대한 솔루션을 하드 코딩하는 단일 게이트를 포함 할 수 있기 때문입니다 $\mathsf P$(그 계수는 결국 폴리-시간 계산에 의해 결정됩니다). 따라서 문제의 특정 시간 또는 공간 복잡성이 그러한 회로에 반드시 흥미로운 것은 아닙니다.

양자 컴퓨터의 실제 구현은 어쨌든 소음이있을 것이라는 관찰에 이러한 경고를 추가 할 수 있습니다. 이 계산 모델은 실행 가능한 계산보다는 단일 변환 작성과 관련이 있으며 의 정확한 버전으로 이론적 인 이유로 주로 흥미 롭습니다$\mathsf{BQP}$ . 특히 위의 경고에도 불구하고 우리는 $\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$ 있습니다.

내가하는 방식으로 를 정의하는 이유 는 DISCRETE-LOG를 E Q P에 넣을 수 있기 때문 입니다. [  Mosca + Zalka 2003  ]에는 입력 계수에 따라 QFT의 정확한 버전을 생성하여 DISCRETE-LOG 인스턴스를 정확하게 해결하는 단일 회로를 구성하는 다항식 시간 알고리즘이 있습니다. 그런 다음 회로 구성 요소를 게이트 계수 계산 방식에 포함시켜 위에서 정의한대로 DISCRETE-LOG를 E Q P에 넣을 수 있다고 생각합니다 . (따라서 DISCRETE-LOG ∈ E Q P 결과 는 기본적으로 피아트로 유지되지만 Mosca + Zalka의 구성에 의존합니다.)$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

단결 중단

하자 우리는 게이트가 단일 것이 제한을 중단하는 경우 우리가 얻을 수 있다는 계산 클래스하고 그들을 가역 변환을 통해 다양 할 수 있습니다. 이 클래스를 다른 전통적인 클래스 관점에서 배치 (또는 특성화) 할 수 있습니까 ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

내가 묻는 이유 중 하나 인 경우 : 이 균일 한 "비 단일 양자"회로 제품군에 의해 경계 오류로 효율적으로 해결할 수있는 문제의 클래스 인 경우 YES 인스턴스는 | 1 ⟩ (상태 벡터를 정규화 후) 확률 최대 확률 1/3과 적어도 2/3 및 NO 인스턴스 - 다음 [론슨 2,005] 방송이 B Q P G L = P P . 즉,이 경우 일시 중단은 무한 오류를 허용하는 것과 같습니다.$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

유사한 결과 또는 명확한 결과가 대해 얻 습니까?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

짧은 답변. 단일 변환 요구 사항을 중단하고 각 작업을 되돌릴 수 없게 요구하면 정확한 간격 정의 클래스가 생깁니다. 문제의 특정 클래스는 와 '새로운'서브 클래스 L P W P P입니다 . 둘 다 S P P 와 C = P 사이에 있습니다. 이 클래스들은 상당히 기술적 정의를 가지고 있으며, 아래에서 간단히 설명합니다. 이러한 정의는 원칙적으로 비 일관적인 "양자 유사"알고리즘의 관점으로 대체 될 수 있습니다.$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

카운팅 클래스 그래프 동형이 포함되어 있습니다. 또한 전체 클래스 U P 를 포함하므로 정확한 단일 양자 알고리즘이 비 단일 클래스만큼 강력 하지 않을 것으로 예상 됩니다 (그렇지 않으면 N P ⊆ B Q P 표시 ).$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

더 긴 대답.

• 내 질문에, 나는 효율적으로 계산 가능하지만 반드시 유한 게이트 세트에서 도출되지는 않는 게이트를 사용하는 균일 한 회로 제품군으로 해결할 수있는 문제를 허용하기 위해 를 재정의 제안했다 . 나는 더 이상 그런 식으로 E Q P 를 재정의 하는 것이 좋은 아이디어라고 확신 하지는 않지만 그러한 회로 제품군은 연구 할 가치가 있다고 생각합니다. 대신 이 클래스를 U n i t a r y P C 와 같이 호출 할 수 있습니다 .$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  는 것을 보여주기 위해 가능한 최근까지 행 알려진 최고의이었다 E Q P를 . 클래스 L W P P는 다소 무작위 화 된 알고리즘이 존재하는 문제에 해당하며, NO 인스턴스는 정확히 0.5의 확률로 1의 결과를 생성하고, YES 인스턴스는 효율적일 수있는 확률로 1의 결과를 생성합니다. 0.5보다 크거나 지수 적으로 가까운 합리적인 형식으로 정확하게 계산됩니다. L W P 의 기술적 정의$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$ 는 비 결정적 튜링 기계로 표시되지만 더 이상 밝지 않습니다.$\mathsf{LWPP}$

  우리가 정의하면 의 가역 게이트 동등하다고 U N 난 마에 R의 Y P C를 가함으로써 정확하게 풀 수있는 문제들의 집합이다 그래서, 가역 효율적으로 계산할 수있는 게이트 계수, 다음과 회로 군 G L가 P C = L W P P .$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• 유한 게이트 세트로 제한하면 단일 회로 패밀리가 의 서브 세트에서 시뮬레이션 될 수 있으며 이를 L P W P P 라고 부를 수 있습니다 . (설명 사용 L W P P를 YES 인스턴스에 대해 하나의 출력을 획득하는 확률은 정확하게 여기서, 상기 확률 적 알고리즘이 대응한다 m의 t ( X ) / 2 P ( | X | ) 어떤 다항식, P , 일부 정수 $\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$및 일부 효율적으로 계산 가능한 다항식 )$t$

  우리가 정의하면 의 가역 게이트 동등하다고 E Q P 가 일반적으로 정의 된 바와 같이, 우리는 보여줄 수 E Q P G L ⊆ L P W P P .$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

DISCRETE LOG에 관한 정정.

위의 결과는 입력과 독립적 (그러나 입력 크기에 따라 다를 수 있음) 방식으로 대수 계수를 나타내는 표준 기술에 의존합니다. 원래의 질문에 대한 설명에서, 나는 [ Mosca + Zalka 2003 ]에서 DISCRETE LOG가 효율적으로 계산 가능한 계수를 가진 게이트 세트에 의해 정확하게 해석 될 수 있음을 보여 주었다고 주장했다 . 진실은 더 복잡해 보입니다. 정확한 용해도에 관심이 있다면, 계수의 정확한 표현이 중요하다고 생각합니다. 그러나 Mosca와 Zalka는 입력에 의존하는 방식으로 이것을 수행하는 방법을 제공하지 않습니다. 따라서 DISCRETE LOG가 실제로 또는 새로운 클래스 U n i t a r y P 에 있다는 것은 분명하지 않습니다.$\mathsf{EQP}$ .$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

참고.

• de Beaudrap, 정확한 카운팅 및 준 양자 복잡성에 대해 , [ arXiv : 1509.07789 ].