축소가 문제의 다루기 쉬움에 대해 어느 정도 낙관적이어야합니까?

대부분의 복잡한 이론가들은 일반적으로 다음과 같은 철학적 규칙을 믿는 것 같습니다.

우리가 문제에 대한 효율적인 알고리즘을 알아낼 수없는 경우 , 우리는 문제를 줄일 수 있습니다 문제에 , 다음이 아마 문제에 대한 효율적인 알고리즘 아닌 중 하나.A B $A$$A$$B$$B$

예를 들어, 새로운 문제가 NP- 완료로 입증 될 때, 우리는 단순히 나타낼 수 있는 새로운 접근법 (문제 ) 에 대해 흥분하지 않고 단순히“너무 딱딱한”것으로 파일을 제출하는 이유 입니다.P = N $B$$P = NP$

나는 다른 과학 분야의 동료 대학원생과 이것을 논의하고있었습니다. 그녀는이 아이디어가 매우 직관적이라는 것을 알았습니다. 그녀의 비유 :

당신은 탐험가이며 북미와 아시아 대륙 사이의 다리를 찾고 있습니다. 여러 달 동안 미국 본토에서 아시아로가는 다리를 찾으려고 시도했지만 실패했습니다. 그러면 미국 본토가 알래스카 지역과 육지로 연결되어 있음을 알게됩니다. 알래스카에서 아시아로가는 다리는 미국 본토에서 아시아로가는 다리를 의미 할 것입니다. 알래스카 근처에서 탐험하는 데 시간을 낭비하지 마십시오. 그냥 집에가

우리의 이전 철학적 규칙은이 맥락에서 꽤 어리석은 소리입니다. 나는 좋은 반박을 생각할 수 없었다! 그래서 나는 여러분들에게 그것을 넘겨 줄 것입니다 : 왜 우리는 로 줄이기 위해 문제 더 쉽게 만드는 것이 아니라 문제 더 어렵게 만드는 것으로 취급해야 합니까?B $A \to B$$B$$A$

나는 이것이 매우 좋은 질문이라고 생각합니다. 이에 답하기 위해 우리는 다음을 깨달아야합니다.

• 모든 감축이 똑같지는 않지만
• 낙관적으로 느끼려면 진정으로 도움이되는 것을 배워야합니다.

$A \to B$

1. 우리는 문제 A에 대해 도움이되는 것을 배웠습니다 (문제 B에 대해서는 아무것도 아님).
2. 우리는 문제 B에 대해 낙담 한 것을 배웠습니다 (문제 A에 대해서는 아무것도 아님).

좀 더 정확하게,이 두 경우는 다음과 같이 특징 지을 수 있습니다.

1. 우리는 문제 A가 숨겨진 구조를 가짐으로써 문제 A를 해결하기위한 새롭고 영리한 알고리즘을 설계 할 수 있음을 발견했습니다. 문제 B를 해결하는 방법 만 알면됩니다.

2. 우리는 어떤 특별한 경우에 문제 B는 기본적으로 위장 문제 A에 불과하다는 것을 깨달았습니다. 문제 B를 해결하기위한 알고리즘이 최소한 이러한 특수한 경우를 올바르게 해결해야한다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 특별한 경우를 해결하는 것은 본질적으로 문제 A를 해결하는 것과 같습니다. 우리는 정사각형으로 돌아 왔습니다. 문제 B를 진행하려면 먼저 문제 A를 진행해야합니다.

유형 1의 감소는 긍정적 인 결과와 관련하여 일반적이며, 이것이 낙관적이라고 느끼는 좋은 이유입니다.

그러나 NP 경도 증거와 관련하여 발생하는 경도 감소를 고려하면 거의 항상 유형 2입니다.

그럼에도 불구하고 문제 A 또는 문제 B의 계산 복잡성에 대해 아무것도 모르더라도 축소 유형이 유형 1인지 유형 2인지 알 수 있습니다. 따라서 우리는 예를 들어 P ≠ NP를 우리가 낙관적이거나 비관적이어야하는지 결정하십시오. 우리는 축소 덕분에 우리가 배운 것을 볼 수 있습니다.

비유에서 빠진 것은 관련된 상대 거리에 대한 개념입니다. 우리의 비유에서 알래스카를 달로 대체합시다.

당신은 탐험가이며 북미와 아시아 대륙 사이의 다리를 찾고 있습니다. 여러 달 동안 미국 본토에서 아시아로가는 다리를 찾으려고 시도했지만 실패했습니다. 그런 다음 미국 본토가 육지로 달과 연결되어 있음을 발견했습니다. 당신은 이미 달이 아시아에서 멀리 떨어져 있다고 확신하고 있으므로, 이제 북미가 삼각형 불평등에 의해 아시아에서 멀리 떨어져 있음을 확신 할 수 있습니다.

우리가 항상 축소 정리를 경도 설명으로 보는 것은 사실이 아닙니다. 예를 들어, 알고리즘에서 종종 문제를 해결하기 위해 LP 및 SDP에 대한 문제를 줄입니다. 이는 경도 결과가 아니라 알고리즘 결과로 해석됩니다. 그러나 기술적으로 감축 되었음에도 불구하고 종종이를 언급하지 않습니다. 축소라는 의미는 일반적으로 일부 (NP-) 어려운 문제의 축소입니다.

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$. 대부분의 연구자들은 P가 NP와 같지 않을 가능성이 더 높으며 심지어 SAT가 지수 시간을 필요로한다고 추측합니다. 다시 말해, SAT는 매우 어렵다고 믿어집니다. 이러한 추측을 받아들이면 문제가 어려울 때 NP에 대한 문제의 보편성을 입증하는 축소를 보는 것이 완전히 합리적입니다. (연구자들이 P가 NP와 같지 않다고 생각하는 이유가 다른 문제 일 가능성이 높다는 사실에 대해서는 이론 블로그에 대한 몇 가지 블로그 게시물이 있습니다.)

우리가 하한을 보편성 결과로 대체하는 이유의 일부 (즉, 학급의 모든 문제에서 문제로 감소)는 일반적인 일반 하한을 입증하는 데 성공하지 못한 것입니다 (현재의 지식 상태와 일치 함) SAT는 선형 결정 론적 시간으로 해결할 수 있습니다).

실제로 알래스카의 발견은 적어도 처음에는 반대의 영향을 미쳤습니다. 그것은 지금까지 서쪽으로 뻗어 있기 때문에, 사람들이 그렇게 생각 할 것, 헤이, 어쩌면이 있습니다 토지 브리지는 결국 (비유의 존재, 헤이, 어쩌면 P  =  NP 이 새로운 이후 NP 에 대한 그런 좋은 후보처럼 - 완전한 문제 외모 다항식 시간 솔루션을 갖는 것). 그러나 알래스카를 철저히 조사하고 다리가 발견되지 않으면 사람들은 아마도 아시아와 아메리카가 분리되어 있다는 것보다 더 확신 할 것입니다.

이 질문은 전문가들이 많이 사용하지 않는 특정 유추 / 유도를 소개하고 P / NP에만 초점을 맞추고 다른 복잡성 클래스는 언급하지 않지만 전문가들은 Kuperberg가 만든 놀라운 다이어그램 과 같이 상호 연결된 큰 개체 영역으로 간주하는 경향이 있습니다. . 복잡성 클래스의 많은 유추 목록을 컴파일하는 것이 좋을 것입니다. 많은 유추가 있습니다. NP 완료 및 "새로운 접근 방식에 대한 흥분"으로 입증 된 "필링 제거"문제에 대해 설명합니다.

NP 완성 클래스를 발견하는 데 초기 "흥분"이 있다는 것을 이해할 수 있지만, P ≠ NP가 유망한 곳으로 간 적이없는 것으로 보이는 일부 40 % 이상의 노력이 지금까지 일부 "흥분"이 사라졌으며 일부 연구자들은 더 가까이 있지 않습니다. 역사는 때때로 후회와 함께 어떤 명백한 진전없이 오랜 시간 동안 문제를 연구 한 연구자들로 가득 차 있습니다. 따라서 NP complete는 "아 론슨의 비유를 빌리는 것"을 일종의 "전기 울타리" 로 사용할 수 있으며, "난해한"문제에 대한 시도에 너무 관여하지 않는 경고 / 주의 사항 입니다.

"계속되는"NP 완료 문제의 주요 측면이 여전히 존재한다는 것은 사실입니다. 그러나 주요 NP 완료 문제 (SAT, 도난 탐지 등)에 대한 대규모 "정밀한"연구가 계속되고 있습니다. (실제로 매우 유사한 현상이 결정 불가능한 문제를 일으킨다. 일단 결정 불가능한 것으로 판명되면 마치 추가 조사를 위해 "사람이없는 땅"으로 판명 된 것처럼 보인다.)

따라서 모든 NP 완전 문제는 현재 이론에 이르기까지 동등한 것으로 입증 되며 , 이는 때로는 Berman-Hartmanis 동 형사상 추측 과 같은 인상적인 추측에서 나타납니다 . 연구원들은 이것이 언젠가 바뀌기를 희망합니다.

이 질문 soft-question에는 정당한 이유가 있습니다. 당신은 진지한 과학자들이 논문에서 유사점에 대해 많은 논의를하지 않을 것입니다. 대중 과학 에 관심을 갖고 수학의 정확성 / 엄격성에 중점을 두는 것을 선호합니다 (이 그룹의 커뮤니케이션 지침에서 강조된대로). 그럼에도 불구하고 여기에는 외부인 / 레이맨을 교육하고 의사 소통하는 데 가치가 있습니다.

여기에는 개념에 대한 "연구 리드"와 함께 평신도를위한 몇 가지 "카운터-분석"이 있습니다. 더 긴 목록으로 만들 수 있습니다.

• 문제에는 영토의 비유가 있습니다. 그러나 그것은 포함 복잡성 이론의 주요 영역으로 생각하는 것이 더 의미가 내 등 알려진 클래스 테라 인코 그니 . 다시 말해, P의 영역이 NP와 교차합니다. P와 NP는 상당히 잘 이해되어 있지만 영역 P ⋂ NP-hard (P는 NP-hard와 교차)가 비어 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다.

• 애런 슨은 최근 P / NP에 절대 섞이지 않는 두 가지 다른 종류의 개구리 종에 대한 은유를 주었다. 그는 또한 둘 사이의 "보이지 않는 전기 울타리"를 언급했다.

• 입자 물리학은 표준 모델을 연구합니다. 물리학은 복잡성 이론이 복잡성 클래스의 구성을 연구하는 것처럼 입자의 구성을 연구합니다. 물리학에서는 복잡한 이론에서와 같이 일부 입자가 다른 입자를 어떻게 발생시키는 지에 대한 불확실성이 있습니다 ( "경계 설정").

• "복잡성 동물원" 은 다른 기능, 작은 / 약한 및 큰 / 강력한 다른 이국적인 동물과 비슷합니다.

• 복잡성 클래스는 다양한 상태 간의 주요 "전환 지점" (물리적 물질 위상 전이와 매우 유사 함)이 있는 시간 / 공간 계층 구조 이론 에서 볼 수있는 매끄러운 시간 / 공간 연속체와 같습니다 .

• 튜링 기계는 "이동 부품" 이있는 기계 이며 에너지 측정과 동등한 기계가 작동 하며 시간 / 공간 측정이 있습니다. 따라서 복잡도 클래스는 블랙 박스 입 / 출력 변환과 관련된 "에너지" 로 볼 수 있습니다 .

• 수학 역사의 많은 가능한 유사체가 있습니다. 즉, 원을 제곱하고, quintic 방정식에 대한 대수적 해법을 찾는 등의 문제가 있습니다.

• 임파 글 리아 조의 세계

• Fortnows의 새로운 책 에는 광업에 대한 많은 과학적 비유가 들어 있습니다.

• 암호화 / 암호 해독 : Turing은 WWII 기간 동안이 작업을 수행했으며 복잡도 클래스의 차이점에 대한 많은 이론이 암호 해독 문제와 유사하게 보일 수 있습니다. 이것은 복잡한 클래스 분리가 "난수"의사 난수 생성기와 직접 관련되는 Natural Proofs 와 같은 논문에서 더욱 견고 해졌 습니다.

• 압축 / 압축 해제 : 서로 다른 복잡도 클래스는 서로 다른 양의 데이터 압축을 허용 / 표시합니다. 예를 들어 P / poly에 NP가 포함되어 있다고 가정합니다. 그것은 "더 큰"NP 완전한 문제를 "인코딩"할 수있는 "더 작은"엔티티 (즉, 회로)가 있다는 것을 의미한다. 즉, 더 큰 (데이터) 구조는 더 작은 (데이터) 구조로 효율적으로 "압축"될 수있다.

• 동물원 / 동물 비유를 따라 복잡성 이론에 대한 강력한 맹인과 코끼리 측면이 있습니다. 이 분야는 여전히 매우 긴 원호의 초기 단계 (아마도 수세기 또는 수백만에 이르는 다른 수학 분야에서는 불가능하거나 들리지는 않음)에서 여전히 명백하고 / 아마도 많은 지식이 많은 부분적으로, 분리되어 있으며, 조각난.

요컨대 질문은 "감소와 관련된 낙관론"에 대해 묻습니다. 과학자들은 일반적으로 감정을 삼가거나 심지어 순전히 논리적 검색에서 감정을 비웃기도합니다. 현장에는 장기 비관론과 신중한 낙관론의 균형이 있으며, 비공식의 여지가 있지만, 모든 진지한 연구자들은 직업 설명의 일환으로 전문적인 태도에있어서 공평성을 추구해야합니다. 당연히 작은 승리와 증분주의에 중점을두고 "지워지지"않습니다.