순열없이 정렬 할 수 있습니까?

π ∈ S n 을 정렬하는 데 필요한 최소 전치 수가 정확히 i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] 이므로, 전치에 의한 정렬 순열은 로 알려져 있습니다 . : i < j  및  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$. "반전 번호"의 개념은 예를 들어 그것이 부여 할 수 있도록, 대수 조합론에도 응용 례를 가지고 permutohedron라는 약한 Bruhat의 순서에 따라 격자 구조로.$S_n$

그룹 이론적 용어로 문제를 다시 설명하는 것이 밝을 수 있습니다. 우리는 그룹 주어진다 발전기 세트와 Γ 와 매핑 전 G : Γ * → G , 또 다른 그룹 H 있는 G는 중간 적 역할을, 우리는 다음과 같은 문제를 해결하려면 : 주어진 시간 ∈ H를 , 최소 길이를 찾을 수 승 ∈ Γ는 * 되도록 I G ( w ) . H = 1 H . 순열의 경우 G = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$ 및 Γ 는 전치 세트입니다.$G = H = S_n$$\Gamma$

질문 : 효율적인 알고리즘을 허용하는이 문제의 다른 사례가 있습니까?

$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

$\sigma_i$$i$$i+1$

$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum : 최소 길이 생성기 시퀀스 찾기의 복잡성. 이론. 계산. 공상 과학 36 : 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$