제곱근 경계의 비결정론으로 그래프 동 형사상을 결정할 수 있습니까?

경계가없는 비결정론 은 함수 를 자원이 제한된 결정 론적 튜링 머신이 허용하는 언어 의 클래스 와 연관시켜 새로운 클래스 - 를 형성합니다 . 이 클래스는 를 정의하는 데 사용 된 것과 동일한 자원 한계를 준수하는 일부 비 결정적 Turing 머신 허용되는 언어로 구성 되지만 은 최대 비 결정적 이동을 수행 할 수 있습니다. (Kintala와 Fischer의 원본 대신 Goldsmith, Levy 및 Mundhenk 표기법을 사용하고 있으며 은 입력 크기입니다.) $g(n)$ $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$

내 질문:

GRAPH ISOMORPHISM이 - 있도록 상수 이 있습니까? $c\ge0$ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

( 편집 : Joshua Grochow는이 질문에 대한 긍정적 인 대답은 현재 알려진 것보다 더 점근 적 런타임 범위가 더 나은 GI 알고리즘을 의미한다고 지적했습니다. 따라서 경계를 완화하고 비 결정적 움직임.) $o(\sqrt{n}\log n)$

배경

모든 고정 된 상수 , - 같은 비 결정적 움직임들이 많아야 구성 다항식으로 만들 결정적 탐험. 또한 과의 NP 완전 언어를 나타낼 수 패딩 하나에 의해 - 모든 대 . $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\varepsilon > 0$

Kintala와 Fischer는 정점 를 가진 입력 그래프 에 -clique가 -complete이지만 - 있는지 여부를 결정하는 것을 관찰했습니다. . 이것을 보려면 최대 3-2 이웃 을 가진 정점을 버립니다 . 남은 정점이 너무 적 으면 거부하십시오. 그렇지 않으면 나머지 정점이 크기 의 그래프를 형성합니다 . 그런 다음 추측 정점의 -subset 사용 비 결정적 단계를 통해 다항식 시간에 도가니를 확인합니다. $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ $|V| = O(\sqrt{n})$

의 밀도 그래프의 다른 언어 도 - 있습니다. 정점의 하위 집합이 인증서 역할을하고 입력 그래프의 크기가 입니다. 밀도 그래프의 경우 유도 경로 또는 3 색의 약속 버전이 그 예입니다. 다른 문제에는 더 큰 인증서가 필요한 것 같습니다. 예를 들어 Hamiltonian 회로를 정의하는 정점 목록에는 비트 가 필요한 것 같습니다 . 그러한 문제를 결정하기 위해 인증서를 추측하기에는 너무 작은 양의 비결정론을 사용할 수 있는지 여부는 분명하지 않습니다. $L$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $\Omega(|V|^2)$ $\Omega(|V| \log |V|)$

점을 감안 - NP-완전한 언어를 포함 할 수 있습니다, 그 다음 잠재적으로 더 쉽게 언어 가을 경계 비결정론 계층 구조에서 위치를 물어 재미있는 것 같다. 하나는 가까이 계층 구조로, NP 완성 될 것 같지 않는 언어로, GI를 기대할 수 - 보다 - . 그러나 GI 용 인증서는 사용하여 맵을 지정합니다. 비트는 입니다. $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ $\omega(\sqrt{n})$

이 질문에 대해 생각할 수있는 또 다른 방법은 정점 세트 사이에 맵을 GI에 가능한 가장 짧은 인증서로 지정하는 것입니까?

편집 : Joshua Grochow의 의견을 다루기 위해 일부 추가 (수정 된) 의견이 이어집니다.

인증서가 비트를 사용하고 다항식 시간으로 확인할 수있는 경우 무차별 대입은 GI에 대한 시간. 크기의 인증서를 사용하면 무차별 대입 알고리즘에 시간이 걸리고 크기의 인증서가 소요됩니다. 시간이 걸리는 무차별 대입 접근 방식을 생성합니다 . Luks의 오랜 상한은 시간이며,이 두 경계 사이에서 일정한 지수까지입니다. $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ $O(\sqrt{n})$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

이러한 고려 사항은 GI에 대한 대체 접근 방식이있을 수 있음을 나타냅니다. Luks의 접근 방식은 관련 그룹의 생성기 하위 집합을 식별하는 데 핵심에 의존하는 것으로 보입니다. 따라서 비 결정적 시스템은 그룹의 서브 세트를 추측 할 수 있습니다. 결정적인 알고리즘을 만들기 위해 이러한 부분 집합을 철저히 검사 할 수 있습니다. 연관된 그룹이 그래프 크기보다 훨씬 크지 않거나 필요한 생성기 수가 항상 적고 각 후보 서브 세트를 확인하는 데 시간이 오래 걸리지 않기 때문에 요소 목록을 간결하게 지정할 수있는 경우 GI에 대한 다른 접근 방식을 산출 할 수 있습니다.

Chandra MR Kintala와 Patrick C. Fischer, 상대 다항식 시간 경계 계산에서 비결정론을 정제 , SIAM Journal on Computing 9 (1), 46-53, 1980. doi : 10.1137 / 0209003
Judy Goldsmith, Matthew A. Levy, Martin Mundhenk, 제한된 비결정론 , SIGACT News 27 (2), 20–29, 1996. doi : 10.1145 / 235767.235769
László Babai 및 Eugene M. Luks, 그래프의 정규 레이블링 , STOC 1983, 171–183. 도 : 10.1145 / 800061.808746

— 안드라 살 라몬
소스

따라서 그래프가 크기 의 인접 행렬로 주어진다면 그것은 정점 세트 크기 에 대해 비 결정적 움직임을 선형 수로 만들 수 있다는 것을 의미합니다 .

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— John D.

@ user17410 : 예. 인스턴스의 크기가 이면 표현이 너무 중요하지 않아야합니다 . (크기가 가되도록 적당히 채워지지 않으면 물론 제곱근이면 충분합니다.)

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

— András Salamon

가장 잘 알려진 것보다 더 나은 알고리즘을 요구하는 것 같습니다 ... 이해하면 알고리즘은 결정적 알고리즘. 현재 가장 잘 알려진 결정 론적 알고리즘은 시간이 걸립니다 .

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

— Joshua Grochow

@ AndrásSalamon : 무차별 대입 = NOT ... 또한, 나는 '크기의 인증서가 왜 t 볼 시간의 무작위 힘 알고리즘 리드가 보다는 - 할 수 있습니다 정교한? 어쩌면 "PTIME"표기법의 정의에서 뭔가 빠졌습니까?

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

— Joshua Grochow

@ MohammadAl-Turkistany : 어쩌면 조금 생각해야 할 것입니다. Babai의 알고리즘에는 일단 색상이 폴리 로그 아래에 있으면 이전의 최상의 알고리즘에서와 같이 제한된 범위의 GI 테스트를 적용하고, 폴리 로그 deg GI 테스트를 폴리 로그 바인딩 된 것으로 만들 수 있는지 확실하지 않은 점이 있습니다. 비결 정성, 또는 Babai의 재귀를 계속하여 색상을 일정하게 유지할 수 있는지 여부. 내가 알아낼 때 나는 대답을 업데이트 할 것입니다-당신이 이것에 대해 생각한다면 나는 대화하기를 기쁘게 생각하지만, 아마도 그것을 통해 올바른 장소가 아닐 수도 있습니다.

— Joshua Grochow

첫째, (질문을 편집 한대로) 귀하의 질문에 대한 긍정적 인 답변은 그래프 동형에 대한 최악의 경우 경계를 즉시 개선합니다. A의 알고리즘 낳는 - 시간 결정적 알고리즘이지만 GI 알려져 현재 가장 아니라 $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

둘째, 현재 최고의 알고리즘이 실제로 알고리즘 인지 여부는 명확하지 않습니다. 어떤 의미. 이 알고리즘은 먼저 크기 의 정점 세트 를 개별화하여 (Zemlyachenko의 트릭- 영어 설명 은 여기 를 참조 하십시오 ), 비트를 비 결정적 으로 추측하여 수행 할 수 있습니다. . 그러나, 그것들을 추측하고 (결정 론적 폴리 시간으로) 개별화 한 후에는 시간이 걸리는 가장 잘 알려진 경계도 동형 검사를 적용합니다.이 시간은 ( 이 논문의 9.1 ) 의 경우에 적용 $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ $\sqrt{n/\log n}$ $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ $d=O(\sqrt{n \log n})$ . 후자의 알고리즘이 알고리즘 으로 전환 될 수 있는지 신중하게 합니다 (흥미로운 질문처럼 보입니다). $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— 조슈아 그로 호프
소스

페이 월이없는 버전에 대한 링크가 있습니까? 나는 Zemlyachenko의 트릭이나 제한된 정도의 동 형사상 테스트의 실제 구현을 본 적이 없습니다. NAUTY처럼 정점을 분할하면 속도가 빨라지지만 같은 정도의 정점은 AFIK에서 모든 주요주기 순열을 확인해야합니다.

— Chad Brewbaker

@ 차드 : 불행히도 그 기사의 유료 버전을 알지 못합니다. 그러나 Zemlyachenko의 트릭은 실제로 구현하기가 매우 간단하고 본질적으로 정도를 줄입니다. Zemlyachenko의 트릭을 실제로 구현하려면 유일한 질문은 개별화 할 정점 세트 열거 (세트 크기의 지수)와 효과적으로 학위를 줄임으로써 얻을 수있는 잠재적 이득 사이의 균형입니다. 그것이 실제로 NAUTY 또는 다른 실용적인 동형 알고리즘으로 구현되는지는 알 수 없습니다.

— Joshua Grochow

@Chad : 그건 그렇고, 프라임 사이클 순열을 테스트하는 것은 사소한자가 변형을 탐지하기에 충분합니다. 동 형사상 테스트에는 충분하지 않습니다. 예를 들어, 가 사소하지 않은자가 형성이없는 그래프 인 경우 순열 이라고 할 수는 없습니다. 그런 다음 는 와 동형 이며 는 와 사이 의 유일한 동형 입니다. 그러나이 동형은 프라임 사이클 만 고려해도 감지되지 않습니다.

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

— Joshua Grochow

을 두 배로 늘리는 대신 두 그래프를 인접 행렬에 배치하여 AUT를 사용하여 ISO를 계산할 수 있습니다.

n

$n$

— Chad Brewbaker

@ 차드 : 그렇게하면 이미차수 2의 소수주기 순열이므로 잠재적 인 비용 절감 효과를 잃게됩니다. 이것은 설명하는 축소가 ISO 에서 automorphism 그룹에 대한 생성 세트 를 계산하는 것입니다 . 그래프가 단순하지 않은자가 형성을 갖는지 여부를 결정하는 문제로 ISO에서 알려진 폴리-시간 감소는 없습니다.

n!

$n!$

— Joshua Grochow