정수에 대한 3SUM 문제에 대한 두 알고리즘 비교

Mihai Patrascu의 Erik D. Demaine, Ilya Baran의 논문 "3SUM에 대한 수중 알고리즘"은 다음과 같이 복잡합니다.

3SUM 문제 : 리스트 주어진 $L$ 의 $n$ 있을 경우의 정수 $x,y,z \in L$ 이되도록 $x+y=z.$

$w-$A C 0 O ( n 2 / w 2 log w ) O ( n 2 / ( M B ) ) O $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$$AC0$$O(n^2/ w^2 \log w)$$O(n^2/(MB))$$O(n^2/ MB \log M )$

최근에 Grondlund와 Pettie의 논문 "3 인조, 퇴보와 사랑의 삼각 관계"는 "3SUM의 의사 결정 트리 복잡도는 $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ 이며 $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ 시간에 실행되는 무작위 3SUM 알고리즘 및 O (n ^ 2 (\ log \ log n) ^ {5/3 에서 실행되는 결정적 알고리즘 } / (\ log n) ^ {2/3})$O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$ 시간.

이 결과는 3SUM 추측의 가장 강력한 버전, 즉 결정 트리 (및 알고리즘) 복잡도가 Ω (n ^ 2) 임을 반박합니다 $Ω(n^2)$. "

이 두 번째 논문을 참조 하십시오 .

분명히 둘 다 중요한 논문입니다. 이 분야의 전문가가 아닌 저의 질문은 다양한 복잡성 모델을 고려할 때 둘 중 하나의 영향과 중요성을 비교하는 방법에 관한 것입니다. 이 문제에 대한 다른 통찰력있는 의견도 환영합니다. 예를 들어 첫 번째 논문이 이미 \ Omega (n ^ 2)를 배제 $\Omega(n^2)$했습니까?

다음은 새로운 결과에 대한 관점을 제공하는 데 도움이되는 몇 가지 사항입니다.

의사 결정 트리 복잡성 결과가 큽니다. 공격의 한 줄 (및 Jeff Erickson이 이에 대해 더 말할 수 있음)은 문제의 결정 복잡도 (즉, 문제를 해결하는 데 필요한 비교 횟수)를보고 3SUM을 낮추고 시도하는 것이 었습니다. 희망은 $\Omega(n^2)$ 에 가까운 것을 얻을 수 있다는 것이 었습니다 .

이 결과는 $O(n^{3/2})$ 바운드로 해당 인수를 결정적으로 버립니다 . 이것은 문제의 실제 복잡성에 대해 아무 말도하지 않습니다. 그것은 의사 결정 트리 하한이 발생하지 않을 것이라고 말합니다. 그리고 (다른 증거와 함께) 3SUM이 "도덕적으로" n ^ 2에 가깝다는 기본 전제에 의문을 제기합니다 $n^2$.

알고리즘 결과는 무조건 부차적입니다 (즉, 단어 병렬 모델이 아님). 상수 대해 이 아니라는 사실에 대해 생각할 수도 있지만, 그것은 큰 문제 입니다.$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon$

@domotorp이 말했듯이 이것은 일련의 새로운 결과의 시작이 될 수 있습니다. 정말 말하기가 어렵습니다. 현재 상한은 Timothy Chan의 몇 가지 마술을 사용하여 의사 결정 트리 알고리즘을 "재 구현"하는 데 있습니다. 이것이 더 추진 될 수있을 것으로 생각된다.

첫 번째 논문은 모든 입력 숫자에 비트가 있고 한 단계에서 두 개의 비트 숫자를 추가 할 수 있다는 것을 아는 경우 본질적으로 이차 알고리즘을 제공합니다 . 이것은 매우 놀라운 결과는 아니며 바운드를 배제하지 않았습니다 .$w$$w$$\Omega(n^2)$

두 번째 논문은 그러한 가정을 사용하지 않고 의사 결정 트리에 대한 의 지수를 개선합니다. 이 알고리즘은 약간만 개선 된 모든 알고리즘에 비해 크지는 않지만 놀랍습니다 (따라서 가장 강한 추측을 반증합니다) . 더 많은 결과가 곧 나올 것이라고 생각합니다.$n$