합니까

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넣어야 의 최소 출력도 및 의해 에서도 최소한. $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

A의 관련 질문 , 나는의 Ghouila - Houri 확장 언급 한 해밀턴 사이클에 디랙의 이론 제시, 그 경우 다음, G는 해밀턴이다. $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

그의 의견에서 Saeed는 그래프가 강력하게 연결되어 있어야한다는 점을 제외하고는 더 강력 해 보이는 다른 확장에 대해 언급했습니다.

Ghouila-Houri 정리가 처음 출판 된 지 약 30 년 후에 강력한 연결성이 중복 으로 입증 되었으며, Saeed가 제시 한 확장에 대해 같은 주장이 있는지 궁금합니다.

따라서 질문은 다음과 같습니다.

누가 (캔 사람이 참조를 찾을 수) 증명이 의미 주어진, 해밀턴이다 강력하게 연결되어 있습니까? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

강한 연결 중복 즉합니까뿐만 아니라 여기 의미 강한 연결은? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(그래프가 Hamiltonian이 되려면 그래프가 분명히 연결되어 있어야하지만이 조건이 학위 조건에 의해 암시되는지 묻고 있습니다.)

reference-request graph-theory

— RB
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8

내가 제안한 변형은 실제로 Woodal 정리 의 약간 다른 변형이었습니다 . 아마도 방 젠센과 구틴 의 책 에서 그것을 보았을 것입니다 . 내가 의견을 썼을 때 나는 그 책의 정확성을 확인하지 않았다. 따라서 필자가 그래프를 강력하게 연결해야합니다. BTW, 그 진술은 Woodal 정리의 특별한 경우로 해석 될 수 있기 때문에 성명을 유지합니다. 또한 강력한 연결 요구 사항이 필요하지 않습니다.

이것은 Bang-Jensen과 Gutin 의 책 에서 정리 한 6.4.6 입니다.

를 차수 의 이분법 이라고하자 . 경우에 정점의 모든 쌍에 대해 및 로부터 아크가 없도록 로 다음 해밀턴이다. $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

즉, 질문의 두 번째 부분에 대한 대답도 예입니다.

$n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ $e$ $c$ $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

추신 : 앞서 언급 한 정리가 단순한 digraphs를 보유하고 있는지 확인하십시오. 즉 루프 또는 평행 모서리가없는 digraphs.

추신 : 현재 좋은 Tex 도구가 없습니다. 이미지가 좋지 않습니다.

— 사이드
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3

저자가 두 명 뿐인 경우에는 "First et al."대신 "First and Second"로 언급하는 것이 좋습니다. et al. ( "및 기타")는 전체 저자 목록이 재생하기 어려울 정도로 긴 경우에만 사용해야합니다.

— David Richerby

7

두 번째 질문에 대한 답은 긍정적입니다.

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

$G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— 뫼비우스 만두
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1

\geq n - 1

$\ge n-1$

@GeoffreyIrving 그렇습니다.

— mobius 교 자식

이것은 n-1이 Hamiltonicity에 충분한 지 궁금합니다.

— RB

@RB, 아니요 충분하지 않습니다.

— Saeed

1

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

4

이것은 @Mobius 답변의 확장으로 더 강력한 주장을 보여줍니다.

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

증명:

$(u,v)\in E$

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

$|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$

— RB
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