제한된 교차 크기로 표지 설정

따라서 후보 세트 중 어느 것도 서로 교차하지 않으면 세트 표지 문제는 사소한 것입니다.

그러나 후보 세트의 쌍에 대한 교집합의 크기가 최대 1이면 어떻게됩니까? 이 문제가 NP-hard입니까?

통찰력을 주셔서 감사합니다.

고마워 개렛

내가 빠진 것이 없다면,이 cstheory question 에서 NPC 인 것으로 입증 된 3 세트 (Single OVERLAP RX3C)에 의한 SINGLE OVERLAP RESTRICTED EXACT COVER의 축소를 사용할 수 있습니다 .

세 세트 (X3C) 별 정확한 표지 :

인스턴스 : 및 수집 C = { C (1) , . . . , C의 m } 의 3 요소의 집합 X . 질문 :합니까 C는 대한 정확한 커버 포함 X , 즉 하위 컬렉션 C ' ⊆ C 의 모든 요소하도록 X가 정확히 한 구성원에서 발생 $X=\{x_1,x_2,...,x_{3q}\}$$C=\{C_1,...,C_m\}$$X$
$X$$C′\subseteq C$$X$ ?$C′$

X3C는 NP- 완료 (G & J 참조)이며 [1]에 표시된 것처럼 모든 요소 가 정확히 3의 C 하위 세트에 포함되어 있어도 NP- 완료 상태를 유지합니다 (RESTRICTED EXACT COVER BY THREE SETS, RX3C).$x_i$$C$

의 모든 하위 집합 쌍이 최대 하나의 요소를 공유 하더라도 NP가 완전하게 유지됨을 증명했습니다 . 즉, 모든 i ≠ j 에 대해 | C i ∩ C j | ≤ 1 (이 제한된 버전을 SINGLE OVERLAP RX3C라고했습니다).$C$$i\neq j$$|C_i \cap C_j|\leq 1$

세트 커버 경계 교차 SIZE 1 (결정 버전) 실제로 같은 우주 선택할 수 있습니다, 단순히 SINGLE OVERLAP RX3C의 일반화 와 집합의 동일한 집합 C 1 , . . . SINGLE OVERLAP RX3C의 C m 에 q 서브 세트 이하 의 커버를 요청하십시오 .$X$$C_1,...C_m$$q$

모든 서브 세트에 3 개의 요소가 있고 X에 3 개의 q 요소 가 있으므로 서브 세트가 있는 덮개는 존재할 수 없습니다 . q 서브 세트가있는 표지는 정확해야합니다. 두 서브 세트에 공유 요소가 포함 된 경우 3 개 미만의 q 요소가 포함됩니다.$< q$$3q$$X$$q$$3q$

[1] Teofilo F. Gonzalez : 최대 클러스터 간 거리를 최소화하기위한 클러스터링. 이론. 계산. 공상 과학 38 : 293-306 (1985).