두 개의 동전을 구별

잘 구별의 복잡성 것으로 알려져있다 공정의 하나 바이어스 동전은 θ ( ε - 2 ) . p 코인과 p + ϵ 코인 을 구별 한 결과가 있습니까? p = 0 의 특수한 경우 복잡도가 ϵ - 1 인 것을 알 수 있습니다. p 가 ϵ 정도 인지에 따라 복잡성이 결정 되지만 직감적으로 증명할 수는 없다고 생각합니다. 힌트 / 참조가 있습니까?$\epsilon$$\theta(\epsilon^{-2})$$p$$p+\epsilon$$p=0$$\epsilon^{-1}$$p$$\epsilon$

다음 백서에있는 프레임 워크를 사용하는 것이 좋습니다.

선형 암호화 분석을 넘어서 얼마나 멀리 갈 수 있습니까? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004.

결정적인 결과는 , 여기서 D ( D $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ 은 두 분포 D 0 과 D 1 사이의 Kullback-Leibler 거리입니다. KL 거리의 정의를 확장하면 귀하의 경우에$D(D_0 \,||\, D_1)$$D_0$$D_1$

$$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$$

0 log 0 이라는 규칙으로입니다.$0 \log \frac0p = 0$

때 , 우리는 찾을 D ( D $p \gg \epsilon$ . 따라서 p ≫ ϵ 인 경우 n ~ p ( 1 - p ) / ϵ 2 코인 플립이 필요합니다. p = 0 일때 D ( D $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$$p \gg \epsilon$$n \sim p(1-p)/\epsilon^2$$p = 0$ 이므로 n ~ 1 / ϵ 동전 뒤집기가 필요합니다. 따라서이 공식은 이미 알고있는 특별한 경우와 일치하지만 모든 n , ϵ으로 일반화됩니다.$D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$$n \sim 1/\epsilon$$n,\epsilon$

정당화에 대해서는 논문을 참조하십시오.

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일 때 , 정당화는 손으로 쉽게 처리 할 수 ​​있습니다. 로 N 관찰, 헤드의 수는 하나입니다 이항 ( N , P ) 또는 이항 ( N , P + ε ) 이 가장 작은 발견 할 수 있도록, N 등이 두 분포는 구별 될 수있다.$p \gg \epsilon$$n$$\text{Binomial}(n,p)$$\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$$n$

올바른 평균과 분산을 사용하여 가우시안을 사용하여이 두 가지를 근사한 다음 두 가우시안을 구별하기 어려운 표준 결과를 사용할 수 있습니다. 정도이면 근사값은 양호합니다 .$p \ge 5/n$

특히, 이것은 과 N ( μ 1 , σ 2 1 ) 을 구별하는 것으로 귀착됩니다. 여기서 μ 0 = p n , μ 1 = p + ϵ ) n , σ 2 0 = p ( 1 − p ) n , σ 2 1 = ( p + ϵ $\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$$\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$$\mu_0 = pn$$\mu_1 = p+\epsilon)n$$\sigma_0^2 = p(1-p)n$ . 최적 구분자 의 오차 확률은 erfc ( z )입니다. 여기서 z = ( μ 1 − μ 0 ) / ( σ 0 + σ 1 ) ≈ ϵ $\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$$\text{erfc}(z)$ . 따라서일정한 성공 확률과 구별하기위해서는z∼1이필요하다. 이것은p≫ϵ 일때n~2p(1-p)/ϵ2(상수 계수까지) ...에 해당합니다.$z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$$z \sim 1$$n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$$p \gg \epsilon$

일반적인 경우 ... 용지를 참조하십시오.