을 감안할 때

juntas를 배우는 것과 비슷한 맛의 문제가 있습니다.

입력 : 멤버십 oracle, 즉 x 를 지정한 oracle로 표시되는 함수 은 f ( x )를 반환합니다 .$f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$$x$$f(x)$

목표 : 하위 큐브를 찾기 $S$ 의를 $\{0,1\}^n$ 볼륨 $|S|=2^{n-k}$ 되도록 $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$ . 이러한 서브 큐브가 존재한다고 가정합니다.

시간 에서 실행되는 알고리즘을 쉽게 얻을 수 있으며 서브 큐브를 선택하고 각각의 평균을 샘플링하여 모든 ( 2 n ) k 방법을 시도 $n^{O(k)}$하여 확률이 0.99 정답을 반환합니다 .$\ge 0.99$$(2n)^k$

나는 시간 에서 실행되는 알고리즘을 찾는 것이 흥미 롭습니다 $poly(n,2^k)$. 또는 하한값이 클 수 있습니다. 이 문제는 juntas를 배우는 것과 비슷한 맛이 있지만 계산상의 어려움 사이에는 실제로 관련이 없습니다.

업데이트 : 아래 @Thomas는이 문제의 샘플 복잡성이 임을 증명합니다 $poly(2^k,\log n)$. 흥미로운 문제는 여전히 문제의 계산 복잡성입니다.

편집 : 단순성을 위해 $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ (갭에 주목하십시오 : 우리는 평균 을 가진 서브 큐브를 찾고 $\ge 0.1$있습니다.) 갭 문제에 대한 해결책도 갭없이 문제를 해결할 것입니다.

다음은 샘플 복잡성에 대한 더 나은 경계입니다. (계산 복잡성은 여전히 이지만 )$n^k$

정리. 가정 하위 큐브에 존재 사이즈의 2 N - K 되도록을 | E x ∈ S [ f ( x ) ] | ≥ 0.12 . 함께 O ( 2 K ⋅ K ⋅ 로그 N ) 하위 큐브의 식별, 높은 확률로, 우리가 할 수있는 샘플을 S ' 크기의 2 N - K 되도록을 | E x ∈ S ′ [ $S$$2^{n-k}$$|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$$O(2^k \cdot k \cdot \log n)$$S'$$2^{n-k}$ .$|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

파라미터의 작은 손실에 유의하십시오 ( 는 0.1을 보장하는 데 최적입니다 ).$0.12$$0.1$

증명. 무작위로 점 P ⊂ { 0 , 1 } n을 골라 각 x ∈ P 에서 f 를 쿼리 합니다.$m$$P \subset \{0,1\}^n$$f$$x \in P$

크기 2 n - k 의 서브 큐브 를 고정하십시오 . 우리는 E [ | S ∩ P | ] = m 2 - k . Chernoff 바운드, P [ | S ∩ P | < m 2 - k - 1 ] ≤ 2 - Ω ( m 2 - k ) . 또한 P [ | E x ∈ S $S$$2^{n-k}$$\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

$$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$$ $$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$$

${n \choose k}2^k$$S$

$$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$$ $m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$$0.99$$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$$\varepsilon$$S$$2^{n-k}$.

$\varepsilon=0.01$$| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$