불균일의 불합리한 힘

상식적인 관점에서, 을 추가하면 그 힘이 크게 확장됩니다. 즉, 는 보다 훨씬 큽니다 . 결국 비결정론은 지수 병렬화를 허용하는데, 이는 의심 할 여지없이 매우 강력 해 보입니다. N P $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

반면, 에 비 균일 성을 추가 하고 얻는 경우 직감이 명확하지 않습니다 ( 에서 발생할 수있는 비 재귀 언어를 제외한다고 가정). ). 다른 입력 길이에 대해 다른 다항식 시간 알고리즘을 허용하는 것 (재귀 영역을 떠나지 않음)은 비결정론의 지수 병렬 처리보다 덜 강력한 확장이라고 기대할 수 있습니다.P / p o l y P / p o l $\mathsf{P}$$\mathsf{P}/poly$$\mathsf{P}/poly$

그러나 흥미롭게도 이러한 클래스를 매우 큰 클래스 와 비교 하면 다음과 같은 반 직관적 인 상황이 나타납니다. 우리는 알고 제대로 포함 놀라운 일이 아니다. 결국 는 이중 지수 병렬 처리를 허용 합니다. 반면, 현재 우리는 배제 할 수 없습니다 .N E X $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}$ N E X $\mathsf{NP}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

따라서, 이러한 의미에서, 불균일성은 다항식 시간에 추가 될 때, 비결정론보다 잠재적으로 더 강력하고 잠재적으로 더 강력하게 만든다. 이중 지수 병렬 처리 를 시뮬레이션하는 것까지 가능합니다 ! 비록 이것이 사실이 아니라고 생각하지만 현재 그것을 배제 할 수 없다는 사실은 여전히 ​​복잡한 이론가들이 여기서 "거대한 힘"으로 어려움을 겪고 있음을 시사합니다.

이 불합리한 힘의 불합리한 힘의 배후에있는 것을 지적 평신도에게 어떻게 설명 하시겠습니까?

답은 이것이 평신도에게 설명하려고하는 복잡성 이론에 관한 첫 번째 가 아니라는 것입니다! 불균일성에 대한 아이디어와 그것이 비결정론과 어떻게 다른지 이해하려면, 많은 사람들이 원했던 것보다 복잡한 계급의 정의를 가지고 잡초를 더 내려 가야합니다.

P / poly를 학부생들에게 설명 할 때 도움이된다고 생각한 한 가지 관점은 불균일성이 실제로 더 큰 입력 길이로 갈수록 무한하고 더 나은 알고리즘 시퀀스를 가질 수 있다는 것을 의미합니다 . 실제로, 예를 들어, 순진한 행렬 곱셈 알고리즘은 크기가 100x100 정도 인 행렬에 가장 효과적이며, 어느 시점에서 Strassen 곱셈이 더 좋아지고 최신 알고리즘은 천문학적으로 큰 행렬에 대해서만 더 좋아집니다. 실제로 발생하지 않습니다. 그렇다면 어떤 n 범위에서 작업하든 최고의 알고리즘을 사용할 수있는 마법의 능력이 있다면 어떨까요?

물론, 그것은 기묘한 능력 일 것입니다. 다항식 시간에 NP- 완전 문제를 해결하는 능력만큼 유용하지는 않을 것입니다. 그러나 엄밀히 말하면 비교할 수 없는 능력입니다 .P = NP 인 경우에도 자동으로 얻을 수 있는 능력은 아닙니다. 사실, 당신도의 인위적인 예를 구성 할 수 있습니다 uncomputable 문제 (예를 들면, 0 주어진 ^{n 개의} 입력으로, n 개의 않는 ^일 이 기능을 사용하면 해결 할 수 있도록 것이라고를 튜링 기계의 정지를?). 이것이 바로 불균일의 힘입니다.

이해하기 위해 지점 이 이상한 능력을 고려을, 당신은 아마 퀘스트에 대해 뭔가 회로 하한을 증명하기 위해 말을해야하고, 우리의 하한 많은 기술의 관점에서, 그것의, 사실 것 균일 성이 이상한 것 같아 우리가 거의 필요하지 않은 추가 조건.

비 균일 계산 모델이 우리가 생각하는 것보다 강력해야한다는 주장을 방어하면서 최근에 들었던 "부드러움"주장이 있습니다. 한편, 우리는 시간에 계산 가능한 기능이 있다는 것을 시간 계층 구조 정리 알고 시간에 계산할 수없는 O ( 2 N ) 예를 들어,. 반면, Lupanov의 정리에 따르면 n 입력의 모든 부울 함수 는 크기 ( 1 + o ( 1 ) ) 2 n / n 의 회로로 계산할 수 있습니다$O(2^{2n})$$O(2^{n})$$n$$(1+o(1))2^n/n$. 따라서 우리가 불균일이 많은 힘을주지 않는다고 주장한다면, 즉 은 D T I M E ( f ( n ) O ( 1 ) ) 처럼 행동 해야한다. 경우 들고 F ( n은 ) 가된다 (2) O ( N ) . 그러나이 행동은 두 가지 복잡성 측정법이 갑자기 효력을 발휘할 때까지 손에 들어갑니다.$\mathsf{SIZE}(f(n))$$\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$$f(n)$$2^{O(n)}$

회로 충분히 강력한 반면에, 만약 있다고 왜 한정사가 갑자기 정지 계산에게 더 많은 전력을 제공하는 것이다 : 다음 카프-립톤하여 다항식 계층은 이상한 것이 두 번째 수준에 접 ? 이것이 어디로 우리를 떠나는 지 확실하지 않습니다.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

나는 약 사람과 이야기한다고 가정 와 N P의 수단 것은 사람이 잘 알고 있다는 P 대 N P의 질문 검증 해결 이중성.$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$

그런 다음, 그 설명하려고 것이다 각각 다른 길이를 들면, TM은 완전히 신뢰할 수있는 조언을 제공하기 때문에 매우 강력하다. 그런 다음 입력 길이 당 1 단어 (단항이 아닌)를 가진 하드 (실제로 계산할 수없는) 언어를 고안 할 수 있다고 언급하므로 P / poly입니다! 그러나 다항식 긴 조언으로는 N P의 모든 언어를 해결하기에 충분하지 않을 수 있습니다 . 모든 입력에 대해 다른 힌트를 허용하기 때문입니다.$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$

다른 한편으로, 나는 가 답을 완전히 신뢰하지 않고 대답을 확인해야 한다는 것을 상기시킵니다 . 따라서 각 입력 길이에 대해 동일한 조언을 사용할 수 없으므로 확인할 수 없습니다!$\mathbb{NP}$

마지막으로, 나는 복잡성 이론가의 언어가 있음을 믿는다 고 말할 것입니다 에있을 수 없습니다, 따라서 일부 입력 길이 더 다항식 많은 힌트 이상이 필요하며, P / P 오 리터의 y는 .$\mathbb{NP}$$\mathbb{P/poly}$

처음으로 주제를 가르 칠 때 일반적이라고 생각하는 이해력을 높이는 데 중요한 요점은 조언과 "힌트"(즉, 인증서)가 다른 것, 그리고 그것이 어떻게 다른지 명확히하는 것입니다.

저에게있어, 불균일의 힘을 가장 잘 보여주는 예는 적절한 패딩 버전의 Halting Problem이 이미 P / 1에 있다는 것입니다. 그러면 조언 비트를 반환하는 간단한 TM을 사용하여이 언어를 결정하기에 한 번의 조언만으로 충분합니다.

물론, 기하 급수적으로 결정 불가능한 언어를 채우면 P / poly에서 "도덕적으로"언어가 아닙니다. 그러나 이것은 불균일성을 허용 할 때주의해야한다는 것을 보여줍니다.

나는 여기서 진짜 문제는 불균일의 불합리한 힘이 아니라 불합리한 증거의 무거운 짐이라는 인상을 받았다. chazisop과 András Salamon의 답변이 이미 강조했듯이, 증거의 부담이 완전히 면제 되었기 때문에 결정 불가능한 언어는 매우 제한적인 비 균일 언어에서도 계산할 수있게되었습니다.

우리가 증거없이 벗어날 수있는 기본적인 직관 은 길이 n 의 다른 입력 만 있다는 것 입니다.이를 위해서는 회로가 올바른 답을 제공하는지 확인해야합니다. 따라서 회로가 실제로 정답을 제공한다는 n의 기하 급수적 길이에 대한 증거가있는 것처럼 보입니다 . 그러나 이것은 긴 길이의 각 입력에 대해이 존재로만 사실이다 N 대부분의 지수 길이에서의 증거 n은 입력 언어에 포함 (안)입니다, (실제로 경우 (안) 언어에 포함) . 기하 급수적으로 많은 입력에 각 입력에 대해 기하 급수적으로 긴 증거를 곱하면 지수 길이의 모든 입력에 대해 완전한 증거를 제공합니다.$2^n$$n$$n$$n$$n$ .$2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

비 균일 한 언어에 대해 기하 급수 길이 증명이 필요하다면 , 모든 언어가 N E X P에 포함되어 있음을 증명할 수 있습니다 . 해당 비 결정적 알고리즘은이 회로가 실제로 계산해야하는 것을 계산한다는 "작은"증명과 함께 "작은"회로를 모두 포함하는 힌트 만 있으면됩니다.$n$$\mathsf{NEXP}$

동일한 비 결정적 알고리즘은 회로가 적합한 n 에서 최대 다항식 길이의 증명이 필요하다면 도 보여줄 것이다 . 이 제한된 것을 알 P / P 오 리터의 y는 ' 여전히보다 더 강력 할 수있다 P . Karp-Lipton조차도 (즉, N P ⊆ P / p o l y '인 경우 다항식 계층 구조가 무너짐)$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$$n$$\mathsf{P/poly'}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$)는 여전히 사실이지만,이 진술은 실제 Karp-Lipton 정리보다 덜 흥미 롭습니다.