다항식 크기의 DFA에서 인식되는 언어

고정 된 유한 알파벳 , 공식 언어 이상 입니다 일반 이있는 경우 결정적 유한 자동 장치 이상 (DFA) 정확히 받아 . $\Sigma$ $L$ $\Sigma$ $\Sigma$ $L$

나는 단어 길이에 따라 다항식으로 만 자라는 크기의 오토마타 패밀리에 의해 인식 될 수 있다는 의미에서 "거의"규칙적인 언어에 관심이있다.

공식적으로, 공식 언어 은 모든 단어 에 대해 DFA 패밀리 의해 인식 되고, 에 IFF에 수용 (상관없이 다른 경우 이용 약관을 읽고 동의 여부), 나를 정의 할 P-정규 a로 인식 언어로 언어를 PTIME-계산 가능한 DFA 제품군 다항식의 크기, 즉,이 다항식 는모든 대해 $L$ $(A_n)$ $w \in \Sigma^*$ $n = |w|$ $w$ $L$ $A_n$ $w$ $A_i$ $(A_n)$ $P$ $|A_n| \leq P(n)$ $n$ . (이 이름 "p-regular"는 내가 만든 것입니다. 제 질문은 이것에 대해 다른 이름이 이미 존재하는지 아는 것입니다. 이것은 순열 automata 의 의미에서 p- 일반 언어와 동일 하지 않습니다 .)

이 p- 정규 언어 클래스에는 물론 정규 언어가 포함됩니다 ( 모든 대해 $A_n = A$ 를 취하십시오 . 여기서 는 정규 언어를 인식하는 일부 DFA입니다). 예를 들어, 에 컨텍스트가 없지만 규칙적이지 않다는 것은 잘 알려져 있지만 p- 정규 ( 단지 계산하는 의 발생 및 의 발생 ). 그러나 automata가 다항식 크기의 DFA 여야하기 때문에 일부 공식 언어 (실제로 컨텍스트가없는 언어)는 그렇지 않습니다. $n$ $A$ $\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}$ $A_n$ $n$ $a$ $n$ $b$ p- 정규 : 예를 들어, 회문 언어는 p- 정규가 아닙니다. 직관적으로 단어의 전반부를 읽을 때 가능한 단어가있는 것만 큼 많은 다른 상태를 가져야합니다. 이 첫 번째 절반을 두 번째와 정확히 일치시킵니다.

따라서 p- 정규 언어 클래스는 컨텍스트가없는 언어와 비교할 수없는 엄격한 일반 언어의 상위 집합입니다. 사실, 당신도 다항식의 작은 정도에 따라 P-일반 언어를 구분하여 언어의 계층 구조를 얻을 수있는 것으로 보인다 $P$ 그들이하는 $P$ 정규적인. 이 계층 구조가 엄격하다는 것을 보여주는 예제를 작성하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 비록 이것 사이의 상호 작용과 계산의 복잡성을 제한하는 계층 구조의 대체 정의를 아직 잘 이해하지 못합니다 $A_n$ .

내 질문은 : 내가 p- 정규라고하는이 클래스와 관련 계층 구조가 전에 연구 되었습니까? 그렇다면 어디에서 어떤 이름을 사용합니까?

(가능한 링크는 필드 또는 스트리밍 또는 온라인 알고리즘과 관련이 있습니다. 언어 인식 문제에 대한 스트리밍 알고리즘 의 용어 에서 저는 결정적이고 일회성 인식 알고리즘을 가질 수있는 언어의 클래스 (또는 계층)에 관심이 있습니다. 다항식 수의 상태 (대수 메모리 크기)를 사용하지만이 백서 또는 관련 논문 에서이 클래스에 대한 정의를 찾지 못했습니다. 그러나 문제의 문구에서 단어의 길이는 미리 알려져 있습니다 . 이는 스트리밍 상황에서 적은 자연 : 스트리밍 당신이 읽은 후에 도달 상태의 수 있는지, 무한 자동 장치 특수 "끝 단어"기호 및 제약이 볼 수 $n$ 문자의 다항식 $n$ . 이 구별은 가능한 차이를 만든다고 생각합니다. 예를 들어 값이 길이로 나눌 수있는 이진 단어의 언어는 고정 길이는 쉽지만 이전의 의미에서 무한 자동 마침표로 식별 할 수 없기 때문에 식별 할 수 없습니다. 길이를 미리 알 수없는 경우 만들 수 있습니다.)

(이 p- 정규 수업의 동기는 확률 적 단어에 대한 언어 멤버십 확률과 같은 일부 문제는 언어가 규칙적 일 때뿐만 아니라 p- 정규일 때도 PTIME 인 것처럼 보이고 노력하고 있다는 것입니다 어떤 상황에서 이러한 문제가 다루기 쉬운 지 특성화하기 위해.)

— a3nm
소스

아아, 나는 의 계산 가능성에 대한 적절한 생각을하지 않았다 . 이것을 지적 해 주셔서 감사합니다. 방금 계산 가능하다는 요구 사항을 추가했습니다. 계산 가능하지만 복잡한 패밀리 를 사용해야하는 p- 레귤러 언어의 나쁜 상황이 없기를 바랍니다 .

(A_{n})

$(A_n)$

(A_{n})

$(A_n)$

— a3nm 14:07에

좋아, "계산할 수없는"주석을 삭제했습니다. 그러나 계산 가능한 제약 조건을 사용하더라도 다음과 같은 이상한 것을 얻을 수 있습니다. pick 그리고 는 NEXP 완료입니다 ( 그렇지 않으면 ). 아마도 이 다항식 시간 계산 가능해야 한다는 제약 조건을 추가하여 제한 할 수 있습니까?!?

A_{n} = {1^{n} ∣ n \in B}

$A_n = \{ 1^n \mid n \in B \}$

B

$B$

A_{n} = \emptyset

$A_n = \emptyset$

A_{n}

$A_n$

— Marzio De Biasi

Marzio : Argh, 당신 말이 맞아요. 내 동기 부여에 대한 올바른 개념은 이 PTIME 계산 가능하다는 것입니다. 그래서 나는 이것을 변경했습니다 ... 아직도 계산의 복잡성 이 결과 클래스에 영향을 미친다는 것을 조금 귀찮게합니다. (이것은 정의에서 만들어야하는 추가 선택임을 의미하기 때문에 ...). 이것은 또한 내가 생각했던 계층 구조의 그림을 복잡하게 만듭니다.

A_{n}

$A_n$

(A_{n})

$(A_n)$

— a3nm

계산 불가능한 문제가 무엇인지 알지 못합니다. 많은 회로 클래스와 같이 비 균일 언어 클래스입니다.

— domotorp

로그 공간에 대한 균일 성 조건을 강화하면 모든 해당 언어를 로그 공간에서 계산할 수 있습니다. 주어진 정의에 따라, 모든 p- 정규 언어는 "P- 균일 L"(P- 균일 브랜칭 프로그램 또는 ptime-computable advice를 가진 logspace TM에 의해 인식 가능)에있다.

— Emil Jeřábek은 Monica를

그 질문은 많이 연구되지 않은 것으로 보인다 (하나의 가능성은 "가까운"복잡성 클래스 (P / poly 등)와의 관계를 찾으려고 시도하고 있음) 여기에 하나 이상의 심판이 있지만 :

다항식 크기 Gruber / Holzer의 정규식을 사용한 언어 연산

이 작업은 규칙 성 보존 언어 연산이 정규식의 설명 복잡성에 어느 정도 영향을 미치는지에 관한 질문을 다룹니다. 연산 결과가 피연산자의 크기 다항식의 정규 표현식으로 표현 될 수 있다는 점에서 정규 표현식에 적합한 일부 언어 연산이 식별됩니다. 정규 집합의 언어 몫, 특히 접두사 및 접미사 클로저를 사용하면 필요한 표현 크기에 대해 2 차 폭발이 발생할 수 있음을 증명합니다. 원형 편이 작업으로 인해 입방 크기 만 증가 할 수 있으며 최악의 경우 2 차 팽창이 필요할 수 있습니다.

AS가 제시 한 것처럼, 질문과 같은 것을 연구하는 다른 더 자연스러운 방법이있을 수 있습니다. 다음은 질문과 관련이없는 크기 의 단어 수를 기반으로 정규 언어의 성장을 연구하는 다소 유사한 방법입니다. $n$

다항식 시간에 규칙적이거나 문맥이없는 언어의 성장률 찾기 (Gawrychowski, Krieger, Rampersad, Shallit)

문맥이없는 언어 L이 주어지면 다항식 시간에 다항식인지 지수 식으로 증가하는지 테스트 할 수 있습니다. 또한 다항식 성장 인 경우 다항식 시간에서이 다항식의 정확한 순서를 찾을 수도 있습니다.

— vzn
소스

명시 적으로 언급되어 있지는 않지만 다음 논문의 주요 결과에 대한 증거는 p- 일반 언어 클래스가 모노톤 NC ^ 1에 포함되어 있지 않음을 의미합니다. H. Gruber 및 J. Johannsen : "통신 복잡도를 사용한 정규 표현식 크기에 대한 최적의 하위 경계", FoSSaCS 2008, LNCS 4962, 273-286 페이지. hermann-gruber.com/data/fossacs08.pdf

— Hermann Gruber

부록 은 p11의 "작은 언어"에 대해 요구되는 것과 유사한 것을 정의하는 유한 automata / Kralovic 의 Phd 논문 2010 복잡성 클래스를 가로 질러 실행되었습니다 . 그것은이 전체 영역에 대한 포괄적 인 조사로 보이며 관련 개념에 대한 일반적인 이론적 틀 / 추론을 구축합니다. 그러나 "P- 크기 DFA 패밀리"의 특정 클래스와 직접 관련된 많은 정리를 보지 마십시오.

— vzn

@ vzn : Kralovic의 논문 p11의 정의는 언어 군에 관한 것이기 때문에 약간 다릅니다. 제 질문에 다양한 언어는 하나의 주요 언어에서 가져온 고정 길이의 단어입니다. 나는 Gruber 및 Holzer 논문과 관련이 있는지 확실하지 않습니다. 제 질문에서 오토마타가 일반적으로 규칙적인 보존 작업의 결과라고 생각할 수있는 방법을 모르겠습니다. Gawrychowski 등은 접선 적으로 관련 될 수 있음에 동의합니다.

— a3nm

Gruber / Holzer 심판은 "P- 정규 폐쇄"유형 특성을 갖는 P- 정규 감소 아이디어를 돕는 것으로 보인다. 당신의 방어력이 다른 연구와 다르다는 데 동의했습니다. 즉, 이러한 문제 / 클래스 중 일부 사이에 아마도 감소가 있고 그 방향으로 향하는 심판은 아마도 당신의 def를 이전에 연구 / 출판 된 클래스에 연결시키는 축소와 같은 작업을 찾을 수 있습니다 (defn은 특정을 암시하지 않습니다) 축소 작업). 아마도 당신의 질문에 대한 엄격한 대답은 "당신의 수업이 정확하게 공부되지 않았다"일 것입니다.

— vzn