DFA에 대해 남아있는 문제가 있습니까?

저학년에서 결정 론적 유한 상태 오토마타 (DFA)를 공부 한 후, 그것들이 매우 잘 이해되었다고 생각했습니다. 내 질문은 우리가 여전히 이해하지 못하는 것이 있는지 여부입니다. DFA의 일반화를 의미하는 것이 아니라 우리가 공부하는 원래 수정되지 않은 DFA는 저학년입니다.

이것은 모호한 질문이지만 아이디어를 얻길 바랍니다. DFA를 완전히 이해한다고 말하는 것이 공정한지 이해하고 싶습니다. 따라서 저는 DFA에 관한 문제처럼 인위적으로 만들어진 문제가 아니라 DFA에 관한 본질적인 질문을 의미합니다. 그런 문제의 예를 들어 보겠습니다. P = NP이면 L을 빈 언어로, P가 NP가 아닌 경우 일부 고정 비정규 언어로 둡니다. DFA에서 L을 수락 할 수 있습니까? 이 질문은 DFA에 관한 것이지만 정신에 관한 것이 아닙니다. 내 요점이 명확하고 사람들로부터 비 응답적인 답을 얻지 않기를 바랍니다.

한마디로 말하면 공정하다

우리는 본질적으로 DFA를 완전히 이해합니다.

이것이 내가 알지 못했던 거대한 연구 분야라는 사실이 밝혀져 미안하다. 나는 사람들의 공동체 전체를 모욕했다.

여기 Shallit의 "공식 언어 및 자동 이론의 두 번째 코스"책에 설명 된 한 가지 문제가 있습니다.

하자 와 두 개의 별개의 단어 수 . 를 수락 하지만 거부 하거나 그 반대로 거부 하는 가장 작은 DFA의 크기는 얼마입니까?V | u | = | v | = n u $u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

1989 년 Robson은 그의 논문에서 " 작은 오토마타로 문자열 분리 "에서 상한 증명했습니다 . 에서 가장 잘 알려진 하한 입니다.Ω ( 로그 N $O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

설문 조사 는 이것을 참조하십시오 .

다음은 DFA에 대한 매우 간단한 결정 문제입니다. DFA M이 주어지면 M은 하나 이상의 소수의 밑수 2 표현을 허용합니까?

현재이 문제를 재귀 적으로 해결할 수 있는지조차 알 수 없습니다.

재귀 적으로 해결할 수 있고 알고리즘이있는 경우 가장 큰 알려진 것보다 Fermat 프라임 ( 형식의 프라임)이 있는지에 대한 오랜 개방 문제를 해결할 수 있습니다. 65537. ( 형식의 밑이 2 인 모든 소수 는 Fermat 소수 여야합니다.)1 0 +$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

체르니 추측은 여전히 ​​열려 있고 중요하다. 동기화 단어 (다른 상태에서 시작된 두 개의 오토 마톤 사본이 항상 단어를 처리 한 후 서로 동일한 상태로 끝나는 속성을 가진 단어) 를 갖는 DFA에 관한 것이며 , ( -state의 경우) automata) 가장 짧은 단어의 길이는 항상 최대 입니다. 가장 입증 된 범위는 입니다.( N - 1 ) (2) O ( N 3$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

DFA에 대한 매우 기본적인 개념의 상호 작용과 관련된 다른 연구 문제를 지적하고 싶습니다.

임의의 n- 상태 NFA가 최대 상태를 갖는 동등한 DFA로 변환 될 수 있다는 것은 잘 알려져 있다. 이것은 비 결정적 상태 복잡성 n (즉, 최소 NFA의 상태 수)의 규칙적인 언어가 있지만 결정 론적 상태 복잡성 이라는 점에서 최악의 경우에 가능합니다 . 비결정론이 이차 요인을 절약 할 수있는 언어 군과 비결정론이 어떤 상태도 전혀 저장하지 못하는 경우도 있습니다. 따라서 자연스러운 질문은 다음과 같습니다.2 $2^n$$2^n$

매직 넘버 문제

과 사이의 각 에 대해 비결정론 적 상태 복잡성과 결정 론적 상태 복잡성 사이의 간격이 정확히 가되도록 정규 언어 이 있습니까?n 2 n L n$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

수학적 관점에서 파워 셋 구성과 Myhill-Nerode 관계를 완전히 이해하면 각 에 대해 이러한 언어를 구성 하거나 불가능한 값을 지정할 수 있습니다. (이러한 값이 존재하는 경우이를 "마법 번호"라고합니다).$\alpha$$\alpha$

입력 알파벳 크기 에는 마법 숫자가 있으며, 2009 년 이후 알파벳 크기가 이상이면 마법 숫자가없는 것으로 알려져 있습니다. 그러나 내가 실수하지 않으면 이진 알파벳의 경우는 여전히 열려 있습니다.$1$$3$

갈리나 지라 스코 바. 마법의 숫자와 삼항 알파벳입니다. 에서 : 언어 이론 개발에 관한 제 13 차 국제 컨퍼런스 (DLT 2009), 컴퓨터 과학 강의 노트 5583 권, 300–311 쪽.

제목 : 두 개의 DFA에 대한 교차 비 공제

설명 : 이 DFA의 주어 와 문자열이 존재 그런 와 모두가 동의 ?D 2 x D 1 D 2$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

개방형 문제 : 시간 내에 두 개의 DFA에 대한 교차 비 공백을 해결할 수 있습니까 ?$o(n^2)$

만약 우리가 <2 인 시간 에서이 문제를 해결할 수 있다면 , 강력한 지수 시간 가설은 반박 될 것입니다.$O(n^{\delta})$$\delta$

설명 : 이차 시간에 일반 언어의 교차 공허함 결정

도움이 될 것입니다 : http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

좋은 하루 되세요! :)

DFA 및 머신 러닝 이론과 관련된 공개 문제는 다음과 같습니다. PAC 모델에서 DFA를 학습 할 수있는 랜덤 한 (임의의 전이 및 수락 / 거부 동작) DFA가 있습니까?

참고 : 임의의 DFA는 암호화 경도 결과에 대해 배울 수없는 것으로 생각 됩니다. 무작위 DFA의 경우 SQ 하한 만 있습니다 .

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

닫힌 양식 수식이 있어야하지만 알려진 것은 없습니다. 일부 점근 경계가 알려져 있습니다.

$n$

여기에 내가 전에했던 DFA 관련 질문이 있으며, 여전히 내가 아는 한 여전히 열려 있습니다.

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

이 질문은 머신 러닝에 영향을 미칩니다 .

( "상자 밖에서 생각하는 중 ...") 이것은 DFA와 관련하여 다소 고안된 문제이지만 (다른 곳에서는 연구하지는 않았지만) TCS에서 많은 "심지어"계산 객체 (예 : DFA)가 복잡한 속성을 가질 수있는 테마를 나타냅니다. 또한 쌀 정리에 구체화 된 측면 / 주제. (어떤면에서 궁극적 인 "복잡성"은 "투명성", 즉 튜링 완전성입니다.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$또한 RL (및 DFA)입니다.

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

지금,이 질문과 더 밀접하게 연결되기 위해, 이것은 (일부 사소한 것으로 여겨지는) 널리 알려지지 않았지만, TCS / 수학의 많은 미해결 문제는 중단 문제에 대한 오라클의 관점에서 결정 불가능 성과 밀접하게 연결되어 있습니다. 해결 ".

따라서 어떤면에서 결정 불가능한 DFA에 대한이 기본 문제를 사용하여이 모든 것을 함께 묶는 경우 DFA에 대해서는 항상 미해결 문제가있을 것입니다. DFA (예 : 이와 같은)에 대해서는 항상 결정 불가능한 문제와 같은 "공개"문제가 있기 때문입니다. . 사실이 구조는 어떤 식 으로든 라이스 정리를 반대로 사용하는데, 기본적으로 TCS에서 비교적 "단순하지만"사소한 계산 속성은 결정 불가능한 문제를 구성하는 데 사용될 수 있습니다.

[1] 지수 시간이 필요한 단어 문제 / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR 및 L. Stockmeyer. 제곱이있는 정규 표현식의 동등성 문제에는 지수 공간이 필요합니다. 13 차 IEEE 심포지엄 스위칭 및 오토마타 이론, 1972 년 10 월, pp.125–129.

[3] 언어, 오토마타 및 계산 소개 / Hopcroft / Ullman.