참조 요청 : 하위 모듈 최소화 및 모노톤 부울 함수

배경 : 기계 학습에서 종종 높은 차원 확률 밀도 함수를 나타 내기 위해 그래픽 모델 을 사용합니다. 밀도가 1에 통합되는 (제한) 제약 조건을 무시하면 정규화되지 않은 그래프 구조 에너지 함수를 얻게 됩니다 .

그래프 G = ( V , E ) 에 정의 된 에너지 함수 가 있다고 가정 합니다. 그래프의 각 꼭짓점마다 하나의 변수 x 가 있으며 실제 값을 갖는 단항 및 쌍별 함수 θ i ( x i )가 있습니다 : i ∈ V 및 θ i j ( x i , x j ) : i j ∈ E , 각기. 그때 전체 에너지는$E$$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$$x$$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

모든 가 이진수 인 경우 x 는 집합 구성원을 나타내는 것으로 생각할 수 있으며 하위 모듈에 대해 용어를 조금만 남용 할 수 있습니다 . 이 경우 에너지 함수는 mod θ i j ( 0 , 0 ) + θ i j ( 1 , 1 ) ≤ θ i j ( 0 , 1 ) + θ i j ( 1 , 0 $x \in \mathbf{x}$$x$$\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$. 일반적으로 에너지를 최소화하는 구성, 를 찾는 데 관심이 있습니다 .$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

하위 모듈 식 에너지 ​​함수를 최소화하는 것과 모노톤 부울 함수를 연결하는 것 사이에 연결이있는 것 같습니다. 어떤 x i에 대해 일부 의 에너지를 낮추면 (즉, 선호도를 "true"로 증가) 임의의 변수 x * i 0 x * 의 최적 할당은 0에서 1 ( "false"에서 "true")로만 변경할 수 있습니다. 모든 θ i 가 0 또는 1로 제한되면 | V | 모노톤 부울 함수 :$\theta_i(x_i=1)$$x_i$$x_i^* \in \mathbf{x}^*$$\theta_i$$|\mathcal{V}|$

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

$\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

$\theta_{ij}$$E$$|\mathcal{V}|$

이러한 관계를 더 잘 이해하는 데 도움이되는 참고 자료를 제안 할 수 있습니까? 나는 이론적 인 컴퓨터 과학자는 아니지만 하위 모듈 식 최소화 용어로 생각하여 포착되지 않는 모노톤 부울 함수에 대한 통찰력이 있는지 이해하려고합니다.

내가 이해하는 한, 하위 모듈 식 최소화 사례는 모노톤 부울 경우에 대해 언급해야 할 모든 것을 포착하며 이진 하위 모듈 식 부울 함수는 모든 하위 모듈 식 부울 함수를 표현할 수 있습니다. 그러나 도메인이 부울이 아닌 경우 이진 하위 모듈 함수는 숨겨진 변수가 도입 되더라도 모든 하위 모듈 함수를 표현하기에 충분하지 않습니다. (귀하의 정확한 문제 문구에서 미묘한 부분을 놓친 경우 사과드립니다.)

이 멋진 논문에서 관련 기술에 대한 많은 링크가 있으며 컴퓨터 비전에 대한 링크를 매우 명확하게 만드는 최신 기술에 대해 설명합니다.

• Stanislav Živný, David A. Cohen, Peter G. Jeavons, 이진 하위 모듈 함수의 표현력 , DAM 157 3347–3358, 2009. doi : 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( preprint )

다음 질문이 근사치에 관한 것이라면이 최근 논문은 근사 버전을 살펴 봅니다.

• Dorit S. Hochbaum, 하위 모듈 문제-근사 및 알고리즘 , arXiv : 1010.1945

편집 : 고정 링크.