3 차 그래프에서 에지 분할 문제

다음 문제의 복잡성이 연구 되었습니까?

입력 : 차 (또는 3 개 정규) 그래프 G = ( V , E ) , 자연 상한 $3$$G=(V,E)$$t$

질문 :의 파티션이 로는 | 전자 | / 3 크기의 부품 (3) 제 (nonnecessarily 연결됨) 해당 서브 그래프의 차수의 합은 대부분의 그러한 것을 t ?$E$$|E|/3$$3$$t$

관련 연구 문헌에서 세 개의 모서리를 포함하는 일부 그래프로 파티션 이 존재 하는 데 필요한 및 / 또는 충분한 조건을 입증하는 상당히 많은 논문을 발견 했습니다. (예를 들어, 파티션은 또는 P 4에 대해 동형 인 하위 그래프를 생성해야 하며 주어진 파티션과 관련된 가중치는 없음) 위의 문제를 정확히 처리 한 것은 없습니다.$K_{1,3}$$P_4$

모든 논문을 여기에 나열하는 것은 약간 지루하지만, 대부분은 Dor과 Tarsi 가 인용하거나 인용했습니다 .

20101024 : Goldschmidt 등이이 논문을 찾았습니다 . , 유도 된 서브 그래프의 차수의 합이 최대 t 인 방식으로, AT MOST 에지를 포함하는 부분으로 그래프를 에지 분할하는 문제 가 k = 3 인 경우에도 NP- 완전 함을 증명합니다 . 엄격한 평등 wrt k를 요구할 때 입방 그래프에서 문제가 NP-complete로 유지된다는 것이 명백 합니까?$k$$t$$k=3$$k$

추가 정보

나는 실패한 몇 가지 전략을 시도했다. 더 정확하게, 나는 그것을 증명하는 몇 가지 반례를 발견했습니다.

• 삼각형의 수를 최대화한다고해서 최적의 솔루션이되지는 않습니다. 삼각형은 세 개의 모서리에서 가능한 모든 그래프 중에서 가장 낮은 순서의 하위 그래프이기 때문에 어쨌든 반 직관적입니다.

• 그래프를 연결된 구성 요소로 분할한다고해서 반드시 최적의 솔루션이되는 것은 아닙니다. 그것이 유망한 것처럼 보이는 이유는 덜 분명 할 수 있지만, 많은 경우 주어진 서브 그래프를 연결하기 위해 가장자리를 바꾸는 것이 더 작은 무게의 솔루션으로 이어진다는 것을 알 수 있습니다 (예 : 하나의 추가 가장자리가 각각 연결된 삼각형에서 시도하십시오) 정점; 삼각형은 한 부분이고 나머지는 두 번째이며 총 무게는 3 + 6 = 9입니다. 두 가장자리를 교환하면 경로와 별이 주어지며 총 무게는 4 + 4 = 8입니다.)

NP 하드 표시 방법에 대한 제안입니다. 이것이 효과가 있는지 모르겠습니다. 먼저, 다중 그래프에서 동일한 문제를 고려하십시오. NP 경도가 증명하기 쉬울 수 있습니다. 대략 근사하기 어려운 NP 인 큐빅 MAX CUT을 줄이십시오 (Berman and Karpinski "Tighter Inapproximability Results"). 각 모서리를 2 개로 나누고 각각의 새로운 차수 -2 정점에서 자체 루프가있는 정점을 연결합니다. 최대 파티션이 최대 컷에 해당합니까?

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좀 더 설명해 드리겠습니다.

(1) 3 차 그래프의 모든 방향에서 최대화 (소스 수 + 싱크 수) 문제는 일부 선형 함수에 의해 MAXCUT과 관련이 있습니다. 이를 위해서는 최대 컷과 소스-싱크-최대 방향 사이에 약간의 상관성이 있어야합니다. 한 방향으로, 최대 절단 (U, V)에서 모든 모서리를 U에서 V로 방향을 조정할 수 있습니다. 내부 모서리 E (U)는 일치를 형성하므로 E (V)에 대해 임의로 유사하게 방향을 지정할 수 있습니다. 소스 및 싱크의 총 수는 컷 크기의 일부 선형 함수입니다. 다른 방향에서, 소스-싱크-최대 배향이 주어지면, 파티션 U =도 0 또는 1의 정점, V =도 2 또는 3의 정점은 절단을 제공한다.

(2) 위에서 설명한 가장자리 변형 변환에서 최적의 구성에서 각 루프는 옆의 가장자리와 같은 색으로 표시되고 그 가장자리는 옆의 다른 (비 루프) 가장자리와 동일하게 채색됩니다 그. 따라서 각 이등분 모서리에는 연결된 루프에서 나오는 색상과 다른 색상이 있습니다. 이것은 오리엔테이션에 해당하며 (1)이 적용됩니다.