왜 Ramanujan 그래프는 Ramanujan의 이름을 따서 명명 되었습니까?

나는 최근에 확장기를 가르치고 Ramanujan 그래프의 개념을 소개했습니다. 마이클 포브스 (Michael Forbes)는 왜 이런 식으로 전화를했는지 물어 보았습니다. 누군가?

여기에 답변에 내용을 추가하기 위해 Ramanujan의 추측이 무엇인지 간단히 설명하겠습니다.

우선, Ramanujan의 추측은 실제로 Eichler와 Igusa에 의해 증명 된 정리입니다. 여기에 한 가지 방법이 있습니다. 하자 차 방정식에 통합 솔루션의 수를 나타낸다 . 경우에 , 즉 물론 르장 의해 증명되지만 코비 정확한 카운트를 나타내었다 : . 더 큰 대해서는 정확하게 알려진 것은 없지만 Ramanujan은 경계를 추측했습니다. r_m (n) = c_m \ sum_ {d \ mid n} d + O (n ^ {1/2 + \ epsilon}) 모든 \ epsilon> 0 , 여기서 c_m 은 m 에만 의존하는 상수입니다.x 2 1 + m 2 x 2 2 + m 2 x 2 3 + m 2 x 2 4 = n m = 1 r m ( n ) > 0 r 1 ( n ) = 8 ∑ d ∣ n , 4 ∤ d d m r m ( n ) $r_m(n)$$x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$$m=1$$r_m(n) > 0$$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$.

Lubtozky, Phillips 및 Sarnak은이 결과를 기반으로 확장기를 구성했습니다. 나는 그들의 분석의 세부하지만 기본 개념에 익숙하지 않은 해요, 저는 믿습니다의 케일리 그래프 구성하는 $PSL(2,Z_q)$ 총리에 대한 $q$ 것을 $1 \bmod 4$ , 사용 발전기는 모든 합의에 의해 결정 p의 -4 제곱 분해 $p$. 여기서 $p$ 는 2 차 잔차 모듈로 $q$ 입니다. 그런 다음,이 Cayley 그래프의 고유 값 을 정수 제곱 k에 대해 $r_{2q}(p^k)$ 에 관련 시킵니다. $k$

Lubotzky-Phillips-Sarnak 논문 자체 이외의 참고 ​​문헌은 Noga Alon의 Higher Algebra의 Tools에 대한 간단한 설명입니다 .

Wikipedia는 이 답변을 신속하게 제공합니다. 인용

Ramanujan 그래프의 구성은 종종 대수적입니다. Lubotzky, Phillips 및 Sarnak은 가 소수 일 때마다 무한한 규칙적인 Ramanujan 그래프 패밀리를 구성하는 방법을 보여줍니다 . 그들의 증거는 Ramanujan 추측을 사용하여 Ramanujan 그래프의 이름으로 이어졌습니다.$p+1$$p = 1 \mod 4$

언급 된 논문은 라마누잔 그래프 A. 루보 츠키 (R. Lubotzky), R. 필립스 (R. Phillips) 및 P. 사르 나크 (P. Sarnak), COMBINATORICA Volume 8, Number 3 (1988), 261-277, DOI : 10.1007 / BF02126799이다.