3-SUM의 곱셈 버전

3-MUL이라고하는 다음 문제의 시간 복잡성에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

정수 로 설정된 가 주어지면, 와 같은 요소 있습니까?$S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

이 문제는 3-SUM 문제와 유사 (또는 동등하게 )가 되도록 세 가지 요소가 있는지 묻습니다 . 3-SUM은 대략 2 차 시간 ( 을 요구하도록 추측된다 . 3-MUL에 대해서도 비슷한 추측이 있습니까? 특히 3-MUL은 3-SUM 하드라고 알려져 있습니까?$a,b,c\in S$$a+b+c=0$$a+b=c$$n$

시간 복잡성은 "합리적인"계산 모델에 적용되어야합니다. 예를 들어, 세트에서 세트 3-SUM 을 3-MUL로 줄일 수 있습니다 . 여기서 입니다. 그런 다음 a 경우에만 3-MUL, 대한 솔루션 이 존재합니다 . 그러나 이러한 지수의 급격한 증가는 예를 들어 RAM 모델과 같은 다양한 모델에서 매우 나쁘게 확장됩니다.$S$$S'$$S'=\{2^x\mid x\in S\}$$2^a\cdot 2^b=2^c$$a+b=c$

SUM에서 MUL 로의 축소 는 약간의 표준 수정으로 작동합니다. 원래 정수가 { }에 있다고 가정하십시오 . 변환 후 새 정수는 { }에 있습니다. 범위를 줄입니다.3 1 , … , M x → 2 x 2 , … , 2 $3$$3$$1,\ldots,M$$x\rightarrow 2^x$$2,\ldots,2^M$

새로운 세트 에서 정수 3 배 정수 를 고려하십시오 . 임의의 0이 아닌 의 소수의 제수 는 입니다. 이러한 트리플의 수는 입니다. 따라서 0이 아닌 숫자 중 하나 이상을 나누는 소수 는 최대 입니다.S ′ a b − c < 2 M n 3 q a b − c 2 M n $a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

하자 제들의 집합 소수. 가장 큰 소수는 최대 입니다. 임의의 소수를 선택합니다 . 확률이 높은 는 0이 아닌 나누지 않으므로 , 우리는 각 를 그것의 잔기 mod 나타낼 수 있으며, MUL이 에서 일부 를 찾으면 높은 확률로 원래 SUM 인스턴스에 적합해야합니다. 숫자의 범위를 { }으로 줄였습니다.2 M ⋅ n 4 O ( M $P$$2M\cdot n^4$p ∈ P p a b − c a ∈ S ′ p 3 a b = c S ′ 3 0 , … , O ( M n 4 log M n $O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(이는 표준 크기 축소입니다. 는 항상 의 2 제곱의 차이 라는 사실을 고려하여 더 잘 수행 할 수 있습니다 .)$ab-c$$2$

감소 여기서 입니까? 결과는 실수이므로 일부 자릿수로 반올림해야합니다. 반올림에도 불구하고 숫자가 올바르게 추가되도록하려면 약간의 임의 노이즈를 추가해야합니다.M = 최대 S − 최소 $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$