? 의 고정 깊이 특성

이것은 회로 복잡성에 관한 질문입니다. (정의는 맨 아래에 있습니다.)

치아와 Beigel-타루이마다되었습니다 크기의 회로 가족 크기의 등가 회로 군 갖는 깊이의 두 출력 게이트 대칭 함수이고 두번째 레벨 이루어져 의 게이트 $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ 팬인. 이것은 회로 제품군의 상당히 깊은 "깊이 붕괴"입니다. 깊이 100 회로에서 준 다항식 블로우 업 (및 하나의 공상이지만 여전히 제한적인 게이트)만으로 깊이를 2로 줄일 수 있습니다.

내 질문 : 회로 패밀리 를 표현하는 알려진 방법이 있습니까? 더 모호하게도 회로 제품군은 어떻습니까? 잠재적 답변은 다음과 같은 형식을가집니다. " 크기 모든 회로는 크기 의 깊이 2 패밀리로 인식 할 수 있습니다 . 여기서 출력 게이트는 유형 의 함수이고 게이트 의 두 번째 레벨은 유형입니다. " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

깊이 2 일 필요 는 없으며 , 고정 된 깊이의 결과는 흥미로울 것입니다. 모든 것을 증명 회로 만 대칭 함수 게이트로 구성된 회로에 의해 깊이 3에 표현 될 수있는 것은 매우 흥미로운 것이다. $TC^0$

몇 가지 사소한 관찰 :

경우 답가 사소한 어느 부울 함수 (우리는 같은 기능을 표현할 수있는 중을 S). 구체성 들어, 필요하게 . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
또는 중 하나 가 에서 계산 가능한 임의의 함수가 될 수 있다면 대답은 사소한 것입니다 ... :) 분명히 "간단한"기능에 관심이 있습니다. 계산할 수없는 대칭 기능 패밀리가 있기 때문에 정의하기가 약간 미끄 럽습니다. (계산할 수없는 단항 언어가 있습니다.) 원하는 경우 명령문에서 와 를 대칭 함수로 간단히 바꿀 수 있지만 다른 깔끔한 게이트 선택에 관심이 있습니다. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(이제 몇 가지 간단한 표기법을 기억하십시오.

바운드 팬에 일정 깊이 회로와의 계열에 의해 인식되는 클래스 , 과 상수에 대한 게이트 회로 규모 독립적. 게이트 반환 를 그 입력의 합계로 나누어 IFF에 . $ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

은무한 팬인의 게이트가있는 일정한 깊이 회로로 인식되는 클래스입니다. $TC^0$ $MAJORITY$

은경계 팬인의 , , 게이트가있는로그 깊이 회로로 인식되는 클래스입니다. $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

회로 크기가 입력 수에서 다항식으로 제한되는 경우 이 알려져 있습니다.) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— 라이언 윌리엄스
소스

다항식 크기 깊이 유의

대칭으로 구성된 게이트 회로 다항식 크기 깊이에 의해 계산 될 수있는

MAJ 게이트 구성된 회로. (여기서 일반적인 크기는 전선 수입니다). 그래서 기본적으로 당신은

이 자체로 깊이를 줄일 수 있는지 묻고 있습니까?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

예, 그것은 그것을 보는 한 가지 방법입니다! 일반적으로

또는

의 흥미로운 고정 깊이 시뮬레이션을 찾고 있습니다.

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams

라이언, 나는 당신이 여기서 어떤 종류의 대답을 찾고 있는지 모르겠습니다. 실제로 대칭 게이트에 대해 이야기하고 있다면 (이것은 깊이 2에서 대다수로 시뮬레이션 할 수 있기 때문에) TC0가 일정한 깊이로 붕괴되는 것과 같습니다 (아마도 약간의 수퍼 다항식 크기가 약간 커짐)-잘 알려진 열린 문제. 대칭을 "완화"하고자한다면 Barrington의 결과는 당신이 바라는 것만 큼 좋은 것 같습니까?

— Noam

@Noam : 다른 흥미로운 답변이 있는지 확인하고 싶습니다. 없다면, 300을 랜스에게 줄 것입니다. 중간 가능성, 예를 들어 출력에서 대칭 기능을 가진 깊이 3 회로가 있지만 반드시 다른 두 레이어에서 대칭 일 필요는 없습니다. 어쨌든, 5 분 동안 그것에 대해 생각하게하는 것은 이미 300 현상금의 가치가 있습니다.

— Ryan Williams

그리고 지금 (11 월 8 일 이후) 우리는이 질문의 기원을 알고 있습니다.

— slimton

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

보아스가 그의 답변에서 지적했듯이 산술 회로에 대한 사소한 깊이 감소가 있다는 것을 감안할 때, 이것은 고려해야 할 것일 수 있습니다.

— 크리스토퍼 안스 펠트 한센
소스

$NC^1$

— 랜스 포트 노우
소스

나는 배 링턴의 정리가 여기서 흥미로운 것을 암시한다는 데 동의합니다. 그러나이 출력 게이트는 매우 "비대칭적인"기능입니다 :)

— Ryan Williams

실제로 깊이 1 회로를 얻는 것 같습니다 ... 순열을 5x5 부울 행렬로 나타내는 것은 순열 곱셈 게이트에 대한 투영입니다.

— Noam

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— 보아즈 바락
소스

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, 링크를 별도의 답변으로 추가 할 수 있습니까? 감사!

— Ryan Williams

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$