행렬 곱셈의 실제 비트 복잡도는

정규 (행-열 내부 곱) 기술을 사용한 행렬 곱셈에는 곱셈과 추가가 필요합니다. 그러나 크기 비트 의 동일한 크기의 항목 (두 행렬의 각 항목에있는 비트 수)을 가정 하면 덧셈 연산은 실제로 비트에서 발생합니다.$O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

따라서 비트 복잡도를 통해 측정 된 경우 행렬 곱셈의 실제 복잡성은 이어야합니다 .$O(n^{4})$

$(1)$ 이것이 맞습니까?

총 곱셈과 덧셈이 아니라 비트 복잡성을 줄이는 알고리즘을 생성한다고 가정하면 , 이것은 총 곱셈과 덧셈을 Coppersmith 및 Cohn과 같은 연구원이 시도했습니다.$O(n^{3+\epsilon})$$O(n^{2+\epsilon})$

$(2)$ 이것이 유효한 논증입니까?

아니요, 비트 항목 에 대한 행렬 곱셈의 비트 복잡도 는 . 여기서 는 가장 잘 알려진 행렬 곱셈 지수입니다. 비트 수 의 곱셈과 덧셈은 시간 안에 수행 될 수 있습니다 . 두 개의 비트 수를 곱하면 비트 이하의 숫자가 생성 됩니다. 각각 비트 수를 더하면 비트 이하의 수를 얻을 수 있습니다. (생각해보십시오 : 합은 최대 이므로 비트 표현은$M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$$M$$M+\log n+O(1)$$n 2^M$$\log (n 2^M)+O(1)$ 비트.)

빠른 정수 곱셈 알고리즘에 대한 참조는 웹 검색 또는 Wikipedia에서 찾을 수 있습니다.