부울 함수의 전체 영향에 대한 임의 제한 및 연결

부울 함수 -1,1 -1,1 있고 에 -random 제한을 적용 한다고 가정 해 봅시다 . 또한, 를 계산 하는 결정 트리 가 임의 제한의 결과로 크기 로 축소 된다고 가정 하십시오. 이것은 가 총 영향이 매우 낮다는 것을 의미합니까 ?$f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$$\delta$$f$$T$$f$$O(1)$$f$

제 : 경우 의 -RANDOM 제한 크기의 의사 결정 나무 갖는다 (의 기대하여) 그러한 총 영향 이다 .$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

증명 스케치 : 영향의 정의에 따라 입니다. 우리가 상한하자 도포 제 의한 다음 따기 -restriction를 나머지 좌표 사이 및 1 정착 제외한 모든 것 .$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

이제 -restriction이 의 결정 트리 를 크기 줄이면 , 특히 의 restriction은 에 따라 달라집니다 . 이제 고정되지 않은 임의의 좌표 ( 중 하나 )를 선택하고 다른 모든 좌표를 무작위로 수정합시다 . 의 delta- 제한은 최대 좌표 에 의존 하기 때문에 최대 에서 확률이 일정하지 않은 함수 (1 비트)를 얻습니다 . 따라서 입니다.$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

비고 : 위의 주장은 비트 에 대한 패리티 함수를 취함으로써 엄격합니다 .$O(1/\delta)$