작은 공간에서 확률 순서대로 벡터를 반복하는 방법

고려 차원 벡터 V를 여기서 V I ∈ { 0 , 1 } . 각각의 i에 대해 우리는 p i = P ( v i = 1 )를 알고 있으며 v i 가 독립적 이라고 가정합시다 . 이러한 확률을 사용 하면 출력 크기에서 하위 라인 공간을 사용하여 가능성이 가장 낮은 것부터 (가능한 임의의 선택으로) 순서대로 이진 n 차원 벡터 를 반복하는 효율적인 방법이 있습니까? $n$$v$$v_i \in \{0,1\}$$i$$p_i = P(v_i = 1)$$v_i$$n$

예를 들어 . 가장 가능성이 높은 벡터는 ( 1 , 0 , 1 ) 이고 가장 가능성이 적은 것은 { 0 , 1 , 0 } 입니다. $p = \{0.8, 0.3, 0.6\}$$(1,0,1)$$\{0,1,0\}$

매우 작은 우리는 각각의 2 n 벡터에 그 확률로 레이블을 붙일 수 있고 간단히 정렬 할 수 있지만 물론 여전히 하위 선형 공간을 사용하지는 않습니다.$n$$2^n$

이 질문에 대한 유사 변형은 이전에 /cs/24123/how-to-iterate-over-vectors-in-order-of-probability 에서 요청되었습니다 .

다음은 알고리즘을 제공하는 용도로 약 번 및 2 N / 2 공간.$2^n$$2^{n/2}$

먼저 개 항목 의 모든 하위 집합의 합계를 정렬하는 문제를 살펴 보겠습니다 .$n$

이 하위 문제를 고려하십시오. 길이가 인 두 개의 정렬 된 목록이 있고 목록에있는 숫자의 쌍별 합계로 정렬 된 목록을 작성하려고합니다. 대략 O ( m 2 ) 시간 (출력 크기)이지만 하위 선형 공간 에서이 작업을 수행 하려고합니다. 우리는 O ( m ) 공간을 얻을 수 있습니다 . 우선 순위 대기열을 유지하고 우선 순위 대기열에서 합계를 증가하는 순서로 가져옵니다.$m$$O(m^2)$$O(m)$

목록을 및 b 1 … b m 으로 오름차순으로 정렬하십시오. 우리는 취할 m의 합을 I + B (1)가 , 난 = 1 ... m을 하고, 우선 순위 큐에 넣어.$a_1 \ldots a_m$$b_1 \ldots b_m$$m$$a_i + b_1$$i = 1 \ldots m$

이제 우선 순위 대기열 에서 가장 작은 나머지 합계 가져올 때 j < m 이면 합계 a i + b j + 1 을 우선 순위 대기열에 넣습니다. 공간은 항상 최대 m 개의 합계를 포함하는 우선 순위 큐에 의해 지배됩니다 . 각 우선 순위 큐 조작에 O ( log m ) 를 사용하므로 시간은 O ( m 2 log m ) 입니다. 이것은 우리가 O 에서 하위 문제를 할 수 있음을 보여줍니다 ( m $a_i + b_j$$j < m$$a_i + b_{j+1}$$m$$O(m^2 \log m)$$O(\log m)$ 시간 및 O ( m ) 공간.$O(m^2 \log m)$$O(m)$

이제, 모든 부분 집합의 합을 정렬하기 위해 , 우리는이 서브 루틴을 사용합니다.리스트 a i 는 항목의 전반부의 부분 집합의 집합이고, 목록 b i 는 부분 집합의 집합입니다. 품목의 후반부. 동일한 알고리즘을 사용하여 이러한 목록을 재귀 적으로 찾을 수 있습니다.$n$$a_i$$b_i$

우리는 이제 원래 문제를 고려할 것입니다. 하자 이다 좌표들의 집합 0 과 S 1 이다 좌표들의 집합 1 . 그런 다음 ∏ i ∈ S 0 p ( v i = 0 ) ∏ i ∈ S 1 p ( v i = 1 $S_0$$0$$S_1$$1$

$$\begin{eqnarray*}\prod_{i \in S_0} p(v_i=0) \prod_{i \in S_1} p(v_i=1) &=& \prod_{1\leq i \leq n} p(v_i=0) \prod_{i \in S_1} \frac{p(v_i=1)}{p(v_i=0)} \\ &=& \prod_{1\leq i \leq n} p(v_i=0) \exp\,\left(\sum_{i \in S_1} \log \frac{p(v_i=1)}{p(v_i = 0)}\right).\end{eqnarray*}$$

이러한 수치를 정리하면 숫자 정렬과 동일 , 우리의 서브 세트의 합 분류에 문제가 감소되도록 N 항목.$\sum_{i\in S_1}\log p(v_i=1) - \log p(v_i=0)$$n$

$O(n)$

1. $x \in \{0,1\}^n$$O(n)$$r(x)$$x$$x'$$p(x') > p(x)$$x'\in \{0,1\}^n$$x'$$p(x') > p(x)$$r(x)$$x$
2. $k$$x$$r(x) = k$$O(n)$$x \in \{0,1\}^n$$x$$r(x)$$x$$r(x) = k$
3. $k$$0$$2^n-1$$k$$x$$r(x) =k$

(우리는 또한 가능한 유대 관계를 관리해야하지만 이것은 어렵지 않습니다.)

편집 :이 답변이 잘못되었습니다. 자세한 내용은 의견을 참조하십시오. ~ 간 달리 터

$O(2^n)$$O(n)$

1. $(i, p_i)$$\left|0.5 - p_i\right|$

2. $v$$v_i$$1$$p_i > 0.5$$0$$v$$v_i$$v$

3. 정렬 된 목록에서이 재귀 함수를 호출하고 빈 벡터를 호출하십시오.

$0$$1$$0.5$

$O(2^n)$$O(n)$$n$$O(2^n)$$O(n)$$O(2^n)$시간 단계. 따라서이 알고리즘은 최악의 경우 복잡성 최적입니다.