새 비치 정리에 대한 엄격한 하한

우선, 나는 어리 석음에 대해 미리 사과드립니다. 나는 결코 복잡성 이론의 전문가가 아니다 (그것과는 거리가 멀다! 나는 복잡성 이론에서 첫 수업을 듣는 학부생이다) 여기 내 질문이있다. 이제 Savitch의 정리에 따르면 이제이 하한이 빡빡하면 궁금합니다. 즉 를 달성 할 수 없습니다.

결정적 튜링 머신의 구성 그래프의 각 노드에는 나가는 가장자리가 하나 뿐인 반면 비 결정적 튜링 머신의 구성 그래프의 각 노드에는 더 많은 조합이있을 수 있습니다. 하나의 나가는 가장자리보다. Savitch의 알고리즘은 발신 에지가 여러 개인 구성 그래프를 송신 에지 가 구성 그래프로 변환 하는 것입니다.$<2$

구성 그래프는 고유 TM을 정의하기 때문에 (이것에 대해 확실하지 않음) 후자의 조합 크기는 전자보다 거의 확실합니다. 이 "차이"는 아마도 의 인자 일 것입니다. 물론 루프 등이 없는지 확인하는 방법과 같이 해결해야 할 기술적 인 문제가 많이 있지만 내 질문은 이것이 이와 같은 것을 증명하기 시작하는 합리적인 방법인지 여부입니다. $n^2$

이것은 잘 알려진 공개 질문입니다. 복잡도 이론에서 아무도 해결하지 못한 방법에 대해 궁금한 많은 공개 질문을 보게 될 것입니다. 이유의 일부는 우리가 당신을 도울 수 있도록 당신과 같은 새로운 사람들이 필요하다는 것입니다. :)

이 영역의 최신 결과는 일부 제한된 모델에서 Savitch의 알고리즘이 최적임을 보여줍니다 . Aaron Potechin의 FOCS 논문을 참조하십시오 .

특히, 결정 론적 TM의 구성 그래프에는 입력 에지를 고정한 후 하나의 발신 에지 만 있기 때문에 방향이없는 그래프로 생각할 수 있으므로 질문은 다음과 같이됩니다. 유향 그래프 의 N 개의 특수 정점과 정점 들 , t , 우리는에 매핑 할 경우, N은 정점 무향 그래프 G ' (또한 특수 정점 S ' , t ' )되도록 각각의 에지의 존재 G는 ' 의존 G의 한쪽 가장자리에 s 에서 경로가 있습니다.$G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$에 에서 G 사이의 경로있다 IFF에 의 ' 와 t ' 에서 G ' 얼마나 더 큰, N은 에서이어야한다 , n은 .$t$$G$$s'$$t'$$G'$$N$$n$

것을 보여주기 위해, Savitch 알고리즘이 최적인지 한 요구를 표시하기 위해 적어도되어야 2 Ω ( 로그 2 N을 ) = N Ω ( 로그 N ) . 보여 L ≠ N L를 , 그것이 더 약한 바인딩 보여 충분 즉 N > N C 모든 정수에 대한 C는 . N > n 10 조차도 알려지지 않았지만 N ≥ n 2 와 같은 것이 흥미롭지 않은 이유로 알려져 있습니다.$N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

나는 이것이 빡빡했는지 알지 못한다고 생각합니다. 그렇지 않으면 입니다.$L \neq NL$