계산 복잡성에서 경도가 급증합니까?

최소 대역폭 문제는 인접한 두 노드 사이의 최대 거리를 최소화하는 정수 라인에서 그래프 노드의 순서를 찾는 것입니다. $k$ 기껏해야 길이의 에지 분리 된 경로를 성장으로 주요 경로로 형성된 나무입니다 -caterpillar $k$ (그 노드에서 $k$ 머리 길이라고합니다). 최소 대역폭 문제는 2- 캐터필러의 경우 $P$ 에 있지만 3- 캐터필러의 경우 $NP$ 입니다.

여기에는 매우 흥미로운 사실이 있습니다. 최소 대역폭 문제는 1- 캐터필러의 경우 다항식 시간으로 해결할 수 있지만 (머리 길이는 최대 1 개) 사이 클릭 1- 캐터필러의 경우 $NP$ . 기본 경로의 끝점). 따라서 정확히 하나의 모서리를 추가하면 문제 $NP$ 됩니다.

입력 인스턴스의 작은 변화가 다항식 시간 용해도에서 $NP$ 완전 도로 복잡성 점프를 일으키는 문제 경도 점프의 가장 놀라운 예는 무엇입니까 ?

경도 점프에 대한보다 흥미로운 적용 사례 중 하나가 다음 문제에서 관찰 될 수 있습니다.

팀 과의 축구 리그 챔피언십을 고려하십시오 : 주어진 팀이 리그에서 이길 수 있는지 여부를 결정하는 문제는 경기에서 P 가 2 점을 얻었을 때 1 점을 잃고 각 팀이 1 점을 얻습니다 무승부 경기를 가리 킵니다. 그러나 우승 팀이 3 점을 얻도록 규칙을 변경하면 동일한 문제가 N - hard가됩니다.$n$$P$$NP$

결과는 모든 k > 2 에 대해 포인트 규칙에 대해 일반화 할 수 있으며 나머지 세 라운드까지도 일반화 할 수 있습니다 .$(0, 1, k)$$k > 2$

출처 : Ingo Wegener의“Complexity Theory”( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

이것은 질문 제목에있는 질문에 대답하지만 질문에 대답 한 질문에는 대답하지 않습니다.

"평평한 공식에는 모듈로 이 얼마나 많은 만족할만한 과제가 있습니까?" 이것은 널리이었다 # P-어려운 것으로 생각하고, 그것을의 "대부분"값 인 N 하지만 경우 N은 (예를 들면 메르 센의 정수이고 , N = 7 (7) 형태이므로 2 3 - 1 ) 다음에, 응답 다항식 시간으로 계산할 수 있습니다.$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

이것은 획기적인 홀로그램 알고리즘 논문에서 Valiant에 의해 처음 발견되었습니다.

INDEPENDENT SET은 (교차, 삼각형)이없는 그래프에 대해 NP- 완료 이지만 (의자, 삼각형)이없는 그래프에 대해서는 선형 시간으로 풀 수 있습니다 . (X-free 그래프는 유도 하위 그래프로 X의 그래프가없는 그래프입니다.)

의자 : 삼각형 : 십자가 :

십자가는 단일 모서리를 추가하여 의자에서 얻습니다.

입력에 단일 에지를 추가하면 문제가 NP-complete라는 사실을 확신하지 못합니다. 실제로 에지가 무한히 많은 입력 인스턴스 중 하나에 모두 추가 될 수 있기 때문입니다.

다음은 제안한 선을 따라 날카로운 이분법을 보여주는 문제의 예입니다.

입력 그래프 G로부터 고정 템플릿 그래프 H 로의 그래프 동질성이 있는지를 결정하는 문제는 H가 자기 루프를 갖는 그래프이거나 이분 루프없는 그래프 일 때 P에있다. H가 이분자가 아닌 경우 (단일 모서리를 추가하여 달성 할 수 있음) 문제가 NP- 완전하게됩니다.

• P. Hell and J. Nešetřil, H- 착색의 복잡성 , J. Comb. Th. B 48 92–110, 1990. doi : 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

$P_3$$K_3$

유도 서브 그래프 감지에서 제기 된 또 다른 흥미로운 예는 다음과 같습니다.

$x,y$$P_1, P_2, P_3$$x$$y$

$x$$y_1,y_2,y_3$$P_i$$x$$y_i$$i=1,2,3$

$x_1,x_2,x_3$$y_1,y_2,y_3$$P_i$$x_i$$y_i$$i=1,2,3$

그림으로 설명하기 쉽습니다.

$O(n^{11})$$O(n^9)$

Leveque, Lin, Maffray 및 Trotignon의 " 유도 된 하위 그래프 탐지 "를 참조 할 수 있습니다 . 세타와 피라미드가 비교적 쉬운 이유는 Chudnovsky와 Seymour의 " 트리에서 트리 문제 "에 설명 된 "트리에서 트리"문제 와 관련이 있습니다.

$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

인스턴스에 대해 이야기하는 것은별로 의미가 없다고 생각합니다. 어려움이 다른 두 개의 입력 인스턴스 배포에 대해 이야기 할 수 있지만 배포간에 또는 배포에서 인스턴스간에 관계가 있으면 더 흥미로울 것입니다.

모수화 된 분포 군을 고려한 다음 모수를 변경하면 어떻게되는지 이야기 할 수 있습니다. 당신은 임계 값 현상 이라고 불리는 것에 관심이있을 것 입니다. 이 설문 조사를 살펴보십시오 : Ehud Friedgut , " 예리한 임계 값에 대한 사냥 ", 랜덤 구조 알고리즘 26, 2005.

$\Delta$

람다 항에 대한 유추 유형은 prenex 및 rank-2 다형성 유형 시스템 (유형 수량자가 최대 한 수준 깊이로 중첩 된 경우)을 사용 하여 DEXPTIME- 완료 되지만 등급 3 이상에서는 결정 불가능 합니다. 하나의 추가 중첩 수준으로 인해 문제를 결정할 수없는 것이 이상합니다.

평면의 접지 상태 찾기 자기장이 0 인 Ising 모델은 P에 있고 0이 아닌 자기장은 NP-hard입니다. 자기장이 0 인 평면 Ising 모델의 분할 기능은 P에 있고, 영이 아닌 자기장에는 NP-hard입니다.

다음은 질문에서 다루는 최소 대역폭과 같은 흥미로운 복잡성 점프의 좋은 문제입니다.

$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

다음 복잡도 점프에 도시된다 . Bodlaender 등, 스패닝 트리 혼잡 변수화 복잡성 문제 , Algorithmica 64 (2012) 85-111 :

$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

왜 아무도 이것을 언급하지 않았는지 궁금합니다.

혼 토요일 vs K 토요일

나는 모든 사람들이 그것이 무엇인지 알고 있다고 생각합니다. 그렇지 않은 경우 :

Horn-Sat은 일련의 horn 절이 만족 스러운지 확인하는 것입니다 (각 절은 최대 1 개의 양수 리터럴을 가짐).

K-Sat은 일련의 절이 만족 스러운지 확인하는 것입니다 (각 절은 하나 이상의 양수 리터럴을 가질 수 있음).

따라서 각 절에 둘 이상의 양수 리터럴을 허용하면 P-complete NP-complete에서 문제가 발생합니다.

그래프 채색

다른 답변에서 언급했듯이 2-COL은 다항식 시간으로 해결할 수 있지만 3-COL은 NP- 완료입니다. 그러나 색상 수를 늘릴 때 (알 수없는) 포인트 후에 문제가 더 쉬워집니다!

예를 들어 N 개의 꼭짓점과 N 개의 색이있는 경우 각 꼭짓점에 다른 색을 할당하여 문제를 해결할 수 있습니다.

비슷한 맥락에서 : Permanent vs Determinant.

나는 단지 하이퍼 그래프 분할에 관한 논문을 읽었다 . 문제는 다음과 같이 정의됩니다.

$k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

일반적으로 다음과 같이 입증됩니다.

• $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• $P^l_k$$2 \leq l < k$

이것이 충분히 "점프"하지 않으면 계속 읽으십시오. 분리 된 하이퍼에지가있는 하이퍼 그래프의 경우 다음과 같이 표시됩니다.

• $P^1_k$$k \geq 2$
• $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet. 하이퍼 그래프 분할의 NP-hard 및 선형 변형. 이론. 계산. 공상 과학 411, 1 (2010 년 1 월), 10-21. http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

작업장 스케줄링 문제에 대한 흥미로운 복잡성 점프가 알려져 있습니다.

$n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$$C_j$$j$

$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$

따라서 여기서 두 개의 작업 / 기계에서 3으로 갈 때 점프가 있음을 알 수 있습니다.

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$