다항식 계층의 수준에 대한 대화식 증명

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PSPACE 시스템을 사용하는 경우 다항식 계층 구조의 모든 레벨에 대한 대화식 증거를 제공 할 수있을 정도로 강력합니다. (그리고 내가 올바르게 기억한다면 #P 만 있으면됩니다.) 그러나 언어로 멤버십을 대화식으로 증명한다고 가정합니다 . 문제를 해결하기에 합니까? 문제를 해결하는 적절합니까? 보다 일반적으로 또는 문제를 해결할 수 있다면 에서 모든 언어의 대화식 증명을 생성하기에 충분한 Sigma_ ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

이 질문은 이 cstheory stackexchange 질문에서 영감을 얻었습니다 .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— 피터 쇼어
소스

단일 프로 버 사건에만 관심이 있습니까? 아니면 여러 명의 프로 버 사건에 관심이 있습니까? 이것을 공격하는 명백한 방법은 PCP를 통한 것일 것입니다. PCP는 두 명의 프로 바이더에게는 간단하지만 한 명의 프로 버에게는 효과가 없을 것입니다.

— Joe Fitzsimons

1

두 경우 모두에 관심이 있습니다. 나는 독신 프로 버에 대한이 질문에 대해 오랫동안 궁금해했지만 여러 명의 프로 버에 대해서는 전혀 생각하지 않았습니다.

— 피터 쇼어

4

@Peter : IP = PSPACE 논문을 살펴보면, 증명 강력한 검증자가 있다면, 증명은 ( 대해 완료 됨 )를 사용하는 것 같습니다. 의 arithmitization에서 발생하는 다항식의 정체성 . 뭔가 빠졌습니까?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

1

@ 조, 나는 그 아이디어를 고려하지 않았습니다; 작동 할 수 있습니다.

— 피터 쇼어

2

조, 아마 당신은 답변으로 게시해야합니다

— Suresh Venkat

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현재 기술을 사용하여 coNP에 대한 IP를 제공하더라도 계산, 즉 카운팅을 사용해야합니다. 이는 본질적으로 #P의 최대 전력을 의미합니다. coNP에 대한 약한 증명은 매우 흥미로울 것입니다. 특히 새로운 비 관련 기술을 암시합니다.

— 노암
소스

@Peter : Noam이 옳습니다. 난에서 다음 줄을 인용 여기 ... BPP ^ NP의 증명과 공동 NP에 대한 대화 형 증명 시스템을 의미한다 블랙 박스 감소를 통해 NP의 최악의 경도에 충돌 방지 해싱을 내놓고 ... 모든 알려진 co-NP를위한 (멀티 프로 버) 증명 시스템은 #P 복잡성을 가진 프로 버가 필요합니다.

— MS Dousti

이 경우 내 대답은 말도 안될 것 같습니다. 이것을 지적 해 주셔서 감사합니다.

— Joe Fitzsimons

사실, 그래프 비 동형화에 대한 대화식 증명은 해당 문제에 대한 오라클 만 증명하면된다는 점을 고려하면 실제로 이것은 매우 흥미 롭습니다. GI가 매우 약하거나 (P 에서처럼) 다항식 계층 레벨의 대화식 증거에 대한 경계가 매우 느슨하다는 증거처럼 느껴집니다.

— Joe Fitzsimons

1

여러 명의 발기인이 도움이되지 않는 것으로 가정합니다. 이 올바른지?

— 피터 쇼어

1

@Joe 그래프 비 동형화에 대한 증거는 일정한 둥근 공개 동전 증거이므로 클래스 AM에 배치됩니다 (일반적으로 NP와 동일하게 간주되므로 GI와 GNI는 ). 이것은 coNP 완전 문제의 멤버쉽을 증명하는 데 필요한 것으로 추정되는 다항식 둥근 증명보다 훨씬 낮습니다.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— 보아스 바락

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이것은 때때로 성공하지 못한 채 알려진 (끔찍한) 공개 된 문제입니다.

Avi Wigderson과 저는 공동화 논문 에서 문제를 언급 했는데 , 여기서는 공동화 기술을 통해 coNP contain IP _NP 와 같은 봉쇄 가 증명 될 수 있는지에 대한 의문을 제기했습니다 . (여기서 IP _NP 는 BPP 검증 자와 BPP ^NP 증명을 가진 IP를 나타냅니다 .) 대답이 '아니요'인 경우 Peter가 요청한 것과 같은 대화 형 프로토콜이 비상 대성을 요구하는 공식적인 이유를 제공합니다. IP = PSPACE에 사용 된 기술을 "기본적으로 능가하는"기술.

유사한 질문은 BQP = IP _BQP 인지 여부입니다 . 여기서 IP _BQP 는 BPP 검증기와 BQP (quantum polynomial-time) 증명 기능이 있는 IP를 의미합니다. Broadbent, Fitzsimons 및 Kashefi 의 최근의 돌파구 는 최근에도 획기적인 관련 진술이 사실이라고 밝혔 지만이 질문은 공개적 입니다.

— 스콧 애런 슨
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예, coNP가 증명자가 #P보다 약한 대화식 증거 (NP oracle에 액세스하는 폴리 타임)에 대한 질문은 잘 알려진 공개 질문입니다. 다음 Haitner, Mahmoody 및 Xiao의 논문 에서는이 질문에 대해 설명하고이를 수행 할 수 없다는 가정의 결과를 보여줍니다.

— 보아즈 바락
소스

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Suresh는 내가 의견을 답변으로 게시 할 것을 제안 했으므로 그렇게 할 것입니다. 그러나 나는 이것을 증명하려고 시도하지 않았기 때문에 이것이 완전한 답을 구성한다고 생각하지 않으며, 막 다른 골목으로 판명 될 수 있습니다.

원래 IP = PSPACE 증명은 QBF에 대한 대화식 증명을 생성하여 작동합니다 . QSF의 제한된 경우 는 대해 완료됩니다 . 동일한 산술 전략이 대해 동일하게 작동 합니다. 프로 버 전략의 계산 상 어려운 부분은 관련된 다항식의 정도를 줄이고 발생하는 QBF 공식을 평가하는 것으로 보입니다. 검증자가 임의의 선택을 제공하면 각 라운드에서 산술을 다시 실행하여 해당 수준의 다항식 계층 구조 ( )에 대한 oracle을 사용하여이를 달성 할 수 있습니다 . $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— 조 피츠 시몬스
소스

이 문제는 이미 coNP 증명에서 발생합니다. 섬 체크 프로토콜에는 n 개의 라운드가 있습니다 (각 변수마다 하나씩). 각 라운드에서, 증명자는 기하 급수적으로 계산 된 다항식의 계수를 제시해야합니다. #P보다 전력을 적게 사용하는 방법을 모르겠습니다.

— 보아스 바락

@Boaz : 그렇습니다.이 접근법은 실패 할 것이라고 생각합니다. 나는 다항식이 0과 1의 입력에 대해서만 1 또는 0의 값을 취하는 방식으로 어딘가에있는 산술 버전을 보았을 것이라고 생각했습니다. 이 경우에는 해당 의사 결정 문제에 오라클을 사용할 수있는 것 같습니다. 다시, 나는 단지 그것을 상상했을지도 모른다!

— Joe Fitzsimons