다항식 시간에서 가장 큰 독립 집합을 찾을 수있는 최대 클래스는?

ISGCI의 목록 그래프의 1100 이상 종류. 이 중 다수에 대해 INDEPENDENT SET을 다항식 시간으로 결정할 수 있는지 여부를 알고 있습니다. 이것을 IS-easy 클래스 라고도 합니다. 최대 IS 쉬운 클래스 목록을 컴파일하고 싶습니다 . 이 클래스들은 함께이 문제에 대한 알려진 알려진 다루기 쉬운 경계를 형성합니다.

다루기 쉬움에 영향을주지 않고 무한 IS- 쉬운 클래스에 한정된 수의 그래프를 추가 할 수 있기 때문에 몇 가지 제한이 있습니다. 클래스를 유전적인 클래스로 제한합니다 (유도 된 서브 그래프를 취하거나 이와 동일하게 제외 된 유도 된 서브 그래프 세트로 정의하여 닫습니다). 또한 설명이 적은 세트 X에 대해 X가없는 패밀리 만 고려해 봅시다. 거기 수 있는 도 수 등의 취급 용이 클래스 무한 오름차순 체인 ( $(P,\text{star}_{1,2,k})$-무료 및 아래 David Eppstein에 의해 설명 된 클래스), 실제로 IS- 쉬운 것으로 입증 된 클래스에 대한주의를 제한하겠습니다.

내가 아는 것들은 다음과 같습니다.

• 완벽한 그래프
• -무료$(P,\text{star}_{1,2,5})$
• -무료$(K_{3,3}-e, P_5)$
• 공동 마이 엘린
• 거의 이분
• 의자가없는
• ( , 크리켓) 불필요$P_5$
• 프리$(P_5,K_{n,n})$(고정 )$n$
• 프리$(P_5, X_{82}, X_{83})$

다른 최대 클래스는 알려져 있습니까?

편집 : 제외 된 미성년자가 정의한 클래스를 다루는 Yaroslav Bulatov의 관련 질문도 참조하십시오 . 유전 클래스의 글로벌 속성을 참조하십시오 ? 더 일반적인 질문에 대해서는 이전에 유전 수업에 대해 물었습니다.

Jukka Suomela가 논평에서 지적한 것처럼, 소소한 경우도 흥미롭고 흥미로운 질문을 할 것입니다. 그러나 이것은 여기서 초점이 아닙니다.

David의 예를 피하려면 X의 모든 그래프가 독립적 인 정점을 갖지는 않지만 X-free 그래프로 최대 클래스를 정의 할 수 있어야합니다.

아래 답변에서 제공되는 수업 :

• 사과 무료 (Standa Živný에서 제안)
• $P_5$
• $K_2 \cup$

2013-10-09 추가 : Martin Vatshelle이 언급 한 Lokshtanov, Vatshelle 및 Villanger의 최근 결과는 이전에 알려진 최대 클래스 중 일부를 대체합니다.

$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

즉, 최대 5 개의 정점을 가진 단일 금지 유도 하위 그래프로 정의 된 모든 유전 그래프 클래스를 IS- 쉬운 지 IS- 쉬운 지로 확실하게 분류 할 수 있습니다.

$P_5$$P_6$

$X$$X$$Y$$Y \subset X$

이 질문은 이미 조금 오래되었지만 여기서 ISGCI가 도움이 될 수 있습니다.

ISGCI Java 애플리케이션을 시작하고 문제점-> 경계 / 오픈 클래스-> 독립 세트 메뉴로 이동하면 3 개의 목록이있는 대화 상자가 나타납니다.

Maximal P 목록에는 IS가 다항식 시간으로 풀 수있는 모든 클래스 C (ISGCI)가 포함되어 있으므로 IS가 P로 알려져 있지 않은 C의 최소 수퍼 클래스 (예 : NP-complete, open 또는 ISGCI에 알려지지 않음). 클래스를 선택하고 '그리기'를 클릭하면 IS에 P로 알려지지 않은 클래스를 찾는 데 필요한만큼 포함 계층 구조를 BFS 스타일로 걸어서 찾은 클래스와 수퍼 클래스가 그려집니다.

최소 NP- 완료 목록은 다른 방식으로 진행됩니다. IS가 NP- 완료된 클래스를 포함하므로 모든 최대 서브 클래스도 NP- 완전하지는 않습니다. NP가 완료되지 않은 클래스가 발견 될 때까지 도면이 계층에서 내려갑니다.

열린 목록에는 문제가 열려 있거나 알려지지 않은 클래스가 포함되어 있습니다. 클래스가 열려 있지 않은 클래스에 도달 할 때까지 드로잉은 수퍼 / 서브 클래스 위로 이동합니다.

도면을 작성할 때 색상을 독립 세트 문제 (문제-> 문제의 색상-> 독립 세트)로 설정하는 것이 좋습니다.

Standa Zivny의 질문과 관련하여, 가중치가없는 IS 문제에 대해서는 알려진 복잡성이 있지만 가중치가있는 경우에는 알려지지 않은 복잡성이있는 다음 20 개의 클래스가 ISGCI에 나열되어 있습니다 (ISGCI는 "단순"및 "복잡한"다항식 알고리즘을 구분할 수 없음).

gc_11 P는 확장 ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 잘 적용
gc_428 (K _3,3- -e, P ₍₅₎ , X ₍₉₈₎ ) -free
gc_648 (K _3,3- -e를, P ₅ ) -free
gc_752 공동 유전 도당-HELLY의
gc_756 (E, P)
프리 gc_757 (P, T ₂ )
프리 gc_758 (P, P ₈ )
프리 gc_759 (K _3,3- e, P ₅ , X ₉₉ )
프리 gc_808 (C ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) -free
gc_811 (P, 스타_1,2,5 ) -free
gc_812 (P ₅ , P ₂ ∪ P ₃ ) -free
gc_813 (P, P ₇ ) -free
gc_818 (P, star _1,2,3 ) -free
gc_819 (P, star _{1, 2,4} ) -free
gc_841 (2K ₃ + e, A, C ₆ , E, K _3,3- e, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X₉₈ , A, C ₆ , E, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X ₉₈ , 안테나, 코 안테나, 코 도미노, 코 피쉬, 코 트윈 하우스, 도미노, 피쉬, 트윈 하우스)-무료
gc_894 동원형 퍼펙트
gc_895 강력 원형 퍼펙트
(3K ₂ , E, P _{2 4} P ₄ , net)-무료

의심 할 여지없이 이들 중 많은 것들이 가중치 적용 사례에 대해 알려진 알고리즘을 가지고있을 것입니다. 추가 및 수정은 항상 ISGCI 웹 페이지에 제공된 주소로 환영합니다!

살펴볼 흥미로운 논문은 다음과 같습니다.

A. Brandstadt, VV Lozin, R. Mosca : Apple-Free Graphs의 독립적 인 최대 무게, SIAM Journal of Discrete Mathematics 24 (1) (2010) 239-254. 도 : 10.1137 / 090750822

사과의 무한 클래스는 각각 줄기가있는 사이클 C_k, k> = 5로 정의됩니다.

IS- 편의성 개념에 가중 IS 문제가 포함되는지 여부는 언급하지 않습니다. 의자가없는 그래프 (일명 포크가없는 그래프)는 IS가 쉬운 것으로 알려져 있습니다.

VE Alekseev, 포크가없는 그래프에서 가장 큰 독립 세트를 찾기위한 다항식 알고리즘, Discrete Applied Mathematics 135 (1-3) (2004) 3–16. 도 : 10.1016 / S0166-218X (02) 00290-1

가중 케이스의 다루기 쉬움은 사소한 확장이 아닙니다.

VV Lozin, M. Milanic : 포크없는 그래프에서 Journal of Discrete Algorithms 6 (4) (2008) 595–604의 독립적 인 최대 무게를 찾기위한 다항식 알고리즘. 도 : 10.1016 / j.jda.2008.04.001

가중 IS 문제가 비가 중 사례보다 훨씬 어렵거나 다루기 어려운 / 열린 다른 (흥미로운) 수업이 있습니까?

Vassilis Giakoumakis와 Irena Rusu에 따르면, Disc. Appl. 수학. 1997 년 에, (P5, house) -free 그래프 (일명 (P5, coP5) -free 그래프)는 IS- 쉽습니다.

다른 하나는 ISGCI에 의해 V. Lozin, R. Mosca Disc에 의해 인정되었습니다 . Appl. 수학. 2005 , (K2 u claw) -free graphs 제품군입니다 .

다루기 쉬운 클래스의 무한 오름차순 체인이있을 수도 있습니다

무한한 오름차순 체인이 있습니다. H가 H-free 그래프가 IS-easy 인 유한 한 그래프 세트 인 경우 H '를 H의 각 그래프에 독립 정점을 추가하여 형성된 그래프라고하자. H'-free 그래프도 IS-easy입니다. H-free 알고리즘을 각 정점의 비 이웃 세트에 적용하십시오. 예를 들어, ISGCI가 설명 하듯이, 코 -젬 프리 그래프 는 IS- 쉽기 때문에 코-젬은 P4 + 독립 정점이고 P4- 프리 그래프 는 IS- 쉽기 때문입니다. 따라서 모든 금지 된 하위 그래프에 독립적 인 정점이있는 것은 아닌 최대 클래스로 질문을 제한하려고합니다.

$P_5$

H를 최대 5 개의 정점에 대한 그래프로 설정하면 Independent set의 복잡성이 H-free 그래프 클래스에 알려져 있습니다.

$P_5$$H = P_2 \cup P_3$