지배적 세트 문제가 최대 3 NP- 완전의 평면 이분 그래프로 제한됩니까?

누구든지 최대 등급 3의 평면 이분 그래프 클래스로 제한되는 그래프의 DOMINATING SET 문제에 대한 NP- 완전성 결과에 대해 알고 있습니까?

최대 3 도의 평면 그래프 클래스 (Garey와 Johnson 책 참조)와 최대 3 도의 2 분자 그래프 (M. Chlebík 및 J. Chlebíková 참조, "근사 경도 경계도 그래프에서 설정된 문제를 지배 함 "), 그러나 문헌에서이 둘의 조합을 찾을 수 없습니다.

cc.complexity-theory graph-theory

— 플로랑 푸코
소스

다음 번에 크로스 포스트를하는 경우 원래 게시물에 연결하십시오. mathoverflow.net/questions/43720/… . 교차 게시에 대한 FAQ 항목 도 참조하십시오 .

— Tsuyoshi Ito

(1) 3을 다른 상수로 늘리면 알려진 것이 있습니까? (2)“최대 등급 3”이“3- 일반”으로 더 제한되는 특별한 경우에 대해 알려진 것이 있습니까? (P에 있다고 알려져 있습니까? 최대 3도에 해당하는 것으로 알려져 있습니까?) (3) 호기심에서, 이것에 대한 적용이 있습니까, 아니면 단독으로 관심이 있습니까? (응용 프로그램이없는 문제가 나쁘다는 말은 아닙니다. 일부 응용 프로그램이 있으면 질문이 더 흥미로워 질 수 있기 때문에 묻는 것입니다.)

— Tsuyoshi Ito

(1) 내 지식이 아님 (2) 아니요. 그러나 그것은 또한 어려울 것으로 기대합니다. (3) 나를 위해 유일하게 적용되는 것은 실제로 동일하고 제한된 클래스에서 다른 문제의 NP 경도를 얻는 것입니다. 그래프

— Florent Foucaud

당신이 단순히 다음을 수행하는 경우 : 그래프 감안할 때 다른 그래프 구성 의 각 가장자리 세분화하여 4 개 부분을; 여기서 우리가 도입하는 것이 새로운 노드 세트이며, . $G = (V,E)$ $G' = (V \cup U, E')$ $G$ $U$ $|U| = 3|E|$

그래프 는 이분이다. 또한, 가 평면이고 최대 값을 갖는 경우 . 3도이면, 는 또한 평면이고 최대 값을 갖는다. 학위 3. $G'$ $G$ $G'$

를 대한 (최소한) 지배적 인 세트 하자 . 고려 에지 경로를 형성하는 분할 된 에서의 . 이제 명확 중 적어도 하나 에 . 우리가 두 개 이상있는 경우 또한, 에서 우리는 수정할 수 있습니다 $D'$ $G'$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ $a,b,c$ $D'$ $a,b,c$ $D'$ 유효한 지배적 인 세트로 유지되고 크기가 증가하지 않도록 . 예를 들어, 우리가있는 경우 및 우리는 동일하게 제거 할 수 있습니다 에서 와 추가 에 . 따라서 우리는 wlog. $D'$ $a \in D'$ $c \in D'$ $c$ $D'$ $y$ $D'$ $|D' \cap U| = |E|$

그런 다음 고려하십시오 . 한다고 가정 및 . 그런 다음 우리는 노드가 있어야합니다 등이 . 따라서 우리는 경로 를 갖도록 모서리 가 있습니다 $D = D' \cap V$ $x \in V$ $x \notin D'$ $a \in D'$ $(x,a) \in E'$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ . 이후 및 , 우리가 및 지배 우리가 있어야 . 따라서에서 노드 의 이웃이고 와 . 즉, 는 대한 지배적 인 집합입니다 . $a,b,c \in U$ $a \in D'$ $b, c \notin D'$ $c$ $y \in D'$ $G$ $y$ $x$ $y \in D$ $D$ $G$

반대로 대해 (최소) 지배적 인 세트 를 고려하십시오 . 대해 지배적 인 세트 를 구성하여 다음과 같은 일 : 에지 의 경로를 형성하기 위해 분할 된 에서의 , 우리는 추가 에 $D$ $G$ $D'$ $G'$ $|D'| = |D| + |E|$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ $a$ 경우 및 ; 및 이면 에 를추가합니다. 그렇지 않으면 우리는 에 를 더합니다. 이제 가 대한 지배적 인 세트임을 확인할 수 있습니다. 구성에 의해 모든 노드가 지배됩니다. 이제 하자. 그런 다음 가 있습니다. $D'$ $x \notin D$ $y \in D$ $c$ $D'$ $x \in D$ $y \notin D$ $b$ $D'$ $D'$ $G'$ $U$ $x \in V \setminus D'$ $y \in V$ , 따라서 경로 를 따라 를 지배 가 있습니다. $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $a \in D'$ $x$

경우 요약하면, 크기의 지배 세트가 , 다음 최대 크기의 지배 세트가 이고, 의 크기가 그런 다음 는 최대 크기의 지배적 인 크기 집니다. $G$ $k$ $G'$ $k + |E|$ $G'$ $k + |E|$ $G$ $k$

편집 : 그림을 추가했습니다. 위 : 원래 그래프 ; 중간 : "정규화 된"지배적 인 세트를 갖는 그래프 ; 바닥 : 임의의 지배적 인 세트를 갖는 그래프 . $G$ $G'$ $G'$

— 주카 수오 멜라
소스

좋은 대답입니다.

— Mohammad Al-Turkistany

고마워, 내 질문에 잘 대답 해주셔서 감사합니다 (좋은 사진이 없어도;)) 다른 (고전적인) NP 하드 그래프 문제 (예 : 정점 표지 또는 다른 지배 문제)가 이분 평면 그래프에서 연구되는 참조를 알고 있습니까? 제한된 정도? 나는 그것이 흥미로워 야한다고 생각한다.

— Florent Foucaud

그것이 질문에 대한 대답이라면 아마도 대답을 받아들이 는 것을 고려해야 합니다 ... :) 다른 문제와 관련 하여 모든 이분 그래프에서 정점 표지가 쉽습니다 . 그러나이 설정에서 가장자리 지배 세트가 자연스럽게 연구하는 것이 어려울 수 있다고 생각합니까?

— Jukka Suomela

König의 정리를 상기시켜 주셔서 감사합니다. 녹색 체크 박스를 선택하십시오.)

— Florent Foucaud

확실한 답변 Jukka!

— 가브리엘 페어