문맥없는 문법으로서 일반 언어의 교차의 복잡성

지정된 정규 표현은 아닌 사소한 경계가 가장 작은 문맥 자유 문법의 크기에있다, ? $R_1, \dots, R_n$ $R_1 \cap \cdots \cap R_n$

fl.formal-languages regular-language context-free

— 맥스
소스

??? 이것을 시각화하려고합니다. 트릭이 있습니까?

의 교차점 은 규칙적입니다. CFG 인 표준 방법을 통해 최소 DFA (wrt state count)를 찾을 수 있습니다.

R_{n}

$R_n$

— vzn

@vzn : 네 말이 맞아. 문제는이 DFA, 즉 CFG가 매우 클 수 있다는 것입니다. CFG의 추가 기능을 사용하여 교차점에 대한 간결한 설명을 얻을 수 있는지 궁금합니다.

— 최대

추측하지 않습니다. RL을 인식하는 (즉, 동등한) 모든 CFL이 스택을 사용하지 않거나 상태가 증가하지 않는 스택으로 변환 될 수 있으며 PDA (wrt state count)의 최소 크기는 최소 크기와 동일합니다. DFA. 이것에 대한 증거를들은 적이 없습니다. 어쩌면 힘들지 않습니까? 간단한 질문이 어떤 는 DFA보다 작은 RL을 인식하는 PDA? 생각하지 마십시오.

— vzn

@vzn : 유용한 추측이지만 거짓 : 최대 중첩 깊이가

두 가지 유형의 괄호에서

가 Dyck 언어의 하위 집합이되게하십시오 . 거기에 대한 CFG이다

크기의

하지만, 최소한의 DFA (심지어, 내가 생각하는, 최소한의 NFA)는 크기가

L_{k}

$L_k$

k

$k$

L_{k}

$L_k$

O (k)

$O(k)$

O (2^{k})

$O(2^k)$

— 최대

Dyck 언어 는 CFL이지만 RL은 아닙니다 ...? 그러나 최대 중첩 깊이를 제한하고 있습니다 ... 그렇다면 RL 교차로 동일한 언어를 만들 수 있습니까? 최소 DFA가 그렇게 크다는 증거는 무엇입니까? 즉

상태 ? 당신은 최소 기준이나 다른 곳을 정의하지 않고 자연 상태로 상태를 취했지만 유일한 것은 아닙니다.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— vzn

답변:

이것은 좋은 질문이며 실제로 내 관심 안에 있습니다. 맥스에게 물어봐서 다행입니다.

하자 DFA의 대부분에서 주어 각각의 상태. DFA 언어의 교차를 허용하는 지수가 많은 상태의 PDA가 있다면 좋을 것입니다. 그러나 그러한 PDA가 항상 존재하지는 않을 것이라고 제안합니다. $n$ $O(n)$

복사 언어를 고려하십시오. 이제 길이 n의 문자열을 복사하도록 제한하십시오.

공식적으로 -copy를 고려하십시오 $n$ $:=$ . $\{ xx \, | \, x \in \{0,1\}^{n}\}$

copy 를 최대 의 DFA 크기의 교집합으로 나타낼 수 있습니다 . 그러나, 최소 허용 DFA는 -copy을 갖는 상태. $n$ $n$ $O(n)$ $n$ $2^{\Omega(n)}$

마찬가지로, 우리가 이진 스택 알파벳으로 제한한다면, copy 를 받아들이는 가장 작은 PDA 는 기하 급수적으로 많은 상태를 가지고 있다고 생각합니다 . $n$

추신 더 논의하고 싶은 경우에는 저에게 이메일을 보내 주시기 바랍니다. :)

— 마이클 위 하르
소스

사소한 하한 또는 상한이있을 수 있다고 생각하지 않습니다.
하한의 경우 고정 대해 언어 를 고려하십시오 . 문맥이없는 가장 작은 문법의 크기는 의 정규식 크기에 로그 적이 지만, 에 대한 가장 작은 자동자 크기는 의 정규식 크기에 선형입니다 . 이 다른 언어와 교차하는 경우이 지수 차이는 동일하게 유지 됩니다. 상한 의 경우 정확히 하나로 구성된 언어 를 고려하십시오. $L_1 = \{ a^{2^k} \}$ $k$ $L_1$ $L_1$ $L_1$ $L_1$
$L_2$ deBruijn - 시퀀스 길이의 . 이를위한 작은 문법의 크기 것으로 알려져 최악의 경우, 즉 인 $n$ $L_2$ 이므로,의 "가장 작은"오토 마톤과의 차이는 단순히 대수 인자입니다. $O\left( \frac{n}{\log n} \right)$ $L_2$

D. Hucke, M. Lohrey, E. Noeth FSTTCS 2014에 등장 하는 수식 에 대한 작은 트리 문법 및 작은 회로 구성

사소한 일반 하한 또는 상한은 이러한 결과와 모순 됩니다. 언어의 교차에 대해 참인 것이 언어 의 교차에 대해 참이어야하기 때문입니다 . $n$ $1$

— john_leo
소스

단일 deBruijn-Sequence에 대한 가장 작은 문법의 크기에 대한 언급은 매우 흥미 롭습니다. 참조를 부탁드립니다. 고맙습니다.

— Michael Wehar

또한, 나는 잘못 생각할 수 있지만 정규 표현식의 결과가 아닌 단일 정규 표현식의 문제 만 해결 한 것 같습니다.

— Michael Wehar

@MichaelWehar Yep, 나는 단 하나의 정규 표현식만을 고려했습니다.

개 언어 의 교집합 이 사실이라면 사소한 교집합도 반드시 맞아야합니다. 이러한 경우를 제외하기 위해 질문을 재구성하는 방법을 모르겠습니다. 참조를 추가했습니다. 즉시 처리해야합니다. 죄송합니다.

n

$n$

— john_leo

고맙습니다! 구체적인 예를 설명 할 수있었습니다. 다음은 그러한 예의 존재로 이어지는 간단한 설명입니다. n을 주자. 길이 n의 2 ^ n 문자열이 있습니다. 또한 최대 n / log (n) 상태의 튜링 머신은 2 ^ n 개 이하입니다. 따라서 n / log (n) 상태보다 작은 Turing 머신이 언어 {x}를 허용하지 않도록 길이 n의 일부 문자열 x. 따라서 {x}는 n 개 상태의 DFA에서 승인되며 n / log (n) 개 이하의 PDA에서는 승인 할 수 없습니다.

— Michael Wehar

마이클의 두 번째 판단을하겠습니다. 이것은 실제로 흥미로운 질문입니다. Michael의 주요 아이디어는 문헌의 결과와 결합되어 엄격한 증거와 유사한 하한을 제공 할 수 있습니다.

나는 CFG 크기에 대한 경계를 알파벳의 총 알파벳 수의 관점에서 언급 할 것이다. 정규 표현식입니다. 이 숫자를 로 표시하십시오. john_leo가 지적했듯이 교차점에 참여하는 정규 표현식의 수에는 유용한 경계가 없습니다. $n$ $k$

영업 이익도 마이클 둘은 필요한이 언급 찾을 수 있지만 위의 경계 않았다 쉽게 입증 할 수있는 NFA에 정규 표현식의 교차점을 변환 (상태의 수에). 레코드의 경우 다음과 같습니다. 정규식을 Glushkov automata로 변환합니다. 그런 다음 제품 구성을 적용하여 이러한 언어의 교차점에 대한 NFA를 얻습니다. (I 하나 개선 할 수 있다고 가정받는 바인딩 정도.)은 - 상태 NFA는 크기의 (a CFG의 특별한 경우이다) 우측 선형 문법으로 변환 할 수 $2^{k+1}$ $2^k+1$ $s$ $O(s^2)$ (문법의 왼쪽과 오른쪽의 총 기호 수로 문법 크기를 측정하면) 크기 됩니다. 실용적인 응용 프로그램을 염두에 둔다면이 바운드는 끔찍하게 들립니다. NFA의 크기를 추정하기 위해 비결정론 적 상태 복잡성 대신 비결정론 적 전환 복잡성을 사용하여 더 나은 범위를 입증하려고 노력하는 것이 노력의 가치가 있습니다. $O(4^{k})$

다른 부분은 정규 표현식의 교차점으로 간결하게 표현할 수 있지만 CFG로 설명하기에는 반드시 번거로운 감시 언어를 찾는 것입니다. (여기서 우리는 언어를 생성하는 모든 CFG의 크기에 대한 하한을 설정해야하며, 그 수는 무한히 많을 수 있습니다.) 다음 인수는 하한. $2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$

유한 언어 여기서 환입 나타내고 . 그러면 은 다음 정규식의 교집합으로 표현 될 수 있습니다. $L_n = \{\,ww^Rw \in \{a,b\}^*\mid |w|=n\,\}$ $w^R$ $w$ $L_n$ $2n+1$

, $r_i = (a+b)^ia(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^*+(a+b)^ib(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^*$ ; $1\le i \le n$
, $s_i = (a+b)^*a(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^i+(a+b)^*b(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^i$ ; $1\le i \le n$
$\ell = (a+b)^{3n}$

이 식의 교집합에서 알파벳 기호 의 총 수 는 입니다. $k$ $O(n^2)$

( 1 ) 에서 정리 13의 증거에 주어진 인수를 사용하여, 을 생성하는 모든 비 주기적 CFG가 적어도 가져야 한다는 것을 증명할 수 있습니다 $L_n$ 각 규칙의 오른쪽 길이가 최대인 경우 고유 변수. 후자의 조건은 단일 변수로 유한 한 언어를 생성 할 수 있기 때문에 변수 수에 대해 논쟁하는 데 필요합니다. 그러나 문법 크기의 관점에서 볼 때,이 조건은 실제로 제한이 아닙니다. CFG를 선형 크기의 크기만으로 CFG를이 형식으로 변환 할 수 있기 때문입니다 (2참조). Arvind et al. 은 크기의 알파벳을 초과하며, 이는의 경계를 산출한다; 그러나 논쟁은 명백한 수정으로 이어진다. $2^n/(2n) = 2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$ $2$ $n$ $n^n/(2n)$

그러나 사이에 큰 갭이 남아 및 상술은 하한. $O(4^n)$

참고 문헌 :

V. Arvind, Pushkar S. Joglekar, Srikanth Srinivasan. 다항식의 산술 회로와하다 마드 곱 , FSTTCS 2009, Vol. LIPIcs 4 개, 25-36 페이지
랭, 마틴; Leiß, Hans (2009). " CNF에 또는 CNF에? CYK 알고리즘의 아직 효과적인 버전 ". Informatica Didactica 8.

— 헤르만 그루버
소스