하나의 정수가 고정 된 경우 정수 곱셈

35

를 크기 비트 의 고정 된 양의 정수라고 하자 . $A$ $n$

이 정수를 적절하게 사전 처리 할 수 있습니다.

다른 양의 정수 주어 크기의 비트 승산의 복잡도 무엇 ? $B$ $m$ $AB$

$(\max(n,m))^{1+\epsilon}$ $\epsilon=0$

— 티....
소스

6

주어지면 항목 으로 조회 테이블을 구성하십시오 . (분명히 이것은 당신이 원하는 것이 아니지만 요구 사항을 더 구체적으로 만들어야한다고 생각합니다 ...)

A

$A$

2^{n}

$2^n$

— Jukka Suomela

9

나는 표준 부울 회로 모델에서 문제가 완벽하다고 생각합니다.

— Noam

4

명백한 상한 및 하한과 알고있는 최상의 결과를 요약 할 수 있습니까? 그것은 당신이 문제에 대해 관심을 가지고 있고 당신이 그것에 대해 생각했다는 것을 보여주고, 다른 사람들에게 당신의 문제에 대해 더 많은 동기를 부여합니다.

— Robin Kothari

4

나는 asker가 전처리 된 부분이 공간 만 차지한다는 것을 암시 적으로 의미한다고 생각합니다 . (매트릭스 - 벡터 멀티 포트는 그 속성이 있습니다.)

n^{O (1)}

$n^{O(1)}$

— 라이언 윌리엄스

나는 당신이 원하는 것을 알고 싶습니다. 나는 이것에 대해 끝없는 사건을 겪을 수 있다고 생각합니다. 이것이 나의 첫 번째 대답이므로, 가능한 한 많은 정보를 제공하게되어 기쁩니다. 원하는 경우 mgroff100@hotmail.com으로 이메일을 보내 주시면 더 많은 도움을 드리겠습니다.

— Matt Groff

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항상 가장 효율적인 알고리즘은 아니지만이 질문은 추가 체인과 매우 밀접한 관계가 있습니다. 덧셈 체인에 의해 빠르게 계산하기위한 임의의 알고리즘 반복 덧셈 (각각의 덧셈은 물론 연산 임)에 의해 를 계산하기위한 알고리즘으로 변환된다 . 이에 반하여, 계산 빠른 알고리즘 임의 대한 산출 알고리즘에 짧은 리드 하지만, 물론이 알고리즘은 반드시 첨가 체인의 형태를 가질 필요는 없다; 여전히, 그것은 시작하기에 좋은 곳인 것 같습니다. 한 번 봐 가지고 http://en.wikipedia.org/wiki/Addition_chain을 하거나 권을 확인하십시오. 중 2 $A$ $f(B) = AB$ $O(n)$ $AB$ $B$ $A$ 자세한 내용 은 컴퓨터 프로그래밍 기술 .

— 스티븐 스타드 니키
소스

17

Steven Stadnicki의 아이디어를 확장하기 위해 Discrete Fourier Transform을 사용하여 행렬 곱셈보다 나은 순진 알고리즘을 신속하게 구성 할 수 있습니다.

우리는 의 수를 센다 . 비트의 절반 미만이 1이면 위치의 링크 된 목록을 구성합니다. 곱하기 위해 간단히 목록의 각 위치에서 왼쪽으로 이동 하고 (표시된 비트를 곱한 결과) 결과를 추가합니다. $A$ $B$

비트의 절반 이상이 1이면 위와 동일하지만 위치 목록을 채우는 대신 0을 사용합니다. 아이디어는 모든 합계를 곱하여 얻은 합계에서이 합계를 빼는 것입니다. 모든 것의 합을 얻기 위해 의 비트 수 만큼 를 이동 시키고 여기서 를 뺍니다 . 그런 다음 연결된 목록에서 얻은 합계를 뺍니다. $B$ $A$ $B$

이를 순진한 연결 목록 알고리즘이라고 부를 수 있습니다. 실행 시간은 최악의 경우 이지만 평균 경우의 는 작은 경우 DFT보다 빠릅니다.. $O(n^2)$ $O(|B| \sqrt{\frac{|A|}{2\pi}})$ $|A|$

리스트의 아이디어를 최적으로 사용하기 위해 나누기와 정복을 사용합니다. 를 반으로 나누고 순진 알고리즘을 사용하여 관련 목록의 크기를 찾습니다. 그것들이 5보다 크면, 우리는 모든 반쪽을 5 개 이하로자를 때까지 5보다 큰 반쪽에서 순진 알고리즘을 다시 호출합니다. (이것은 이것을 4 개의 뺄셈으로 줄일 수 있기 때문입니다) $A$

더 좋은 점은 분할 및 정복 알고리즘을 개선하는 것입니다. 우리는 가능한 모든 분기의 조합을 반복하여 탐욕스럽게 최고의 것을 선택합니다. 이 전처리는 실제 곱셈과 거의 같은 시간이 걸립니다.

전처리로 무한한 자유가 허용된다면 모든 분기에 대해 최적화 된 분할 및 정복 알고리즘을 최적으로 해결합니다. 최악의 경우에는 시간이 걸리지 만 더하기 체인 방법에 따라 최적이어야합니다. $O(2^{|A|})$

위의 알고리즘에 대해보다 정확한 값을 계산하려고합니다.

— 매트 그 로프
소스

안녕 매트 : 무엇입니까그리고?

| A |

$|A|$

| B |

$|B|$

— T ....

| A |

$|A|$ 의 크기 에서 기본적 요소 수 . 이것은 과 같습니다 . 즉 . 와 동일 . 그러나 와 이 다른 경우 공식이 유지됩니다 .

A

$A$

A

$A$

n

$n$

| A | \equiv n

$|A| \equiv n$

| B |

$|B|$

n

$n$

A

$A$

B

$B$

— 매트 그 로프

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상수에 의한 곱셈 이라는 문서 는 하위 선형 ( PDF )으로 이동 / 추가 연산에 대한 알고리즘을 제공합니다 . 여기서 은 상수의 크기입니다. . $\mathcal{O}\left(\frac{n}{\log n}\right)$ $n$

본질적으로, 이는 원하는 의해 작동 이들에만 곱하는 상수에 -bits 시프트 및 번호를 추가 진 긴 승산처럼 (일정한 비트 하단 수가 비트 승산 수단 될 상단은 이동 및 추가되지 않지만 비트는 상단이 이동 및 추가되었음을 의미합니다. 그러나 상수 에는 비트가 있을 수 있으므로 여전히 입니다. $1$ $1$ $0$ $1$ $\mathcal{O}\left(n\right)$ $\mathcal{O}(n)$ $1$

그런 다음이 논문은 상수의 숫자 표현을 이중 기수 시스템으로 변경하는 것에 대해 이야기합니다. 분명히 변환이 올바르게 수행되면 이 아닌 비트는 희소합니다 (매우 중복되는 수 시스템). 그들은 얼마나 희소한지를 계산합니다. 0이 아닌 비트의 수는 미만으로 제한 되므로 하위 선형 수의 덧셈이 필요합니다. 그러나 각 추가 의 비용 으로 인해 여전히 실제 작업입니다 (여기서 은 크기 상수이며 은 다른 숫자의 크기입니다. $0$ $\mathcal{O}(n)$ $\mathcal{O}\left(\frac{nm} {\log n}\right)$ $\mathcal{O}(m)$ $n$ $m$

그래서 귀하의 질문에 대답하기 위해, 예 당신이 얻을한다는 점에서, 행렬 - 벡터 곱셈과 유사한 결과가 이 일정하면 속도 향상; 물론이 속도 향상은 순진한 긴 곱셈에 지나지 않으며, 얻을 수있는 보다 훨씬 나은 곱셈 알고리즘이 있습니다. 이 알고리즘. $\log n$ $\mathcal{O}\left(\frac{n^2} {\log n}\right)$

— 레알 츠 슬로
소스

@JAS 그것은 나의 특기이다 : D.

— Realz Slaw

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이는 ARITH 2007에서 dx.doi.org/10.1109/ARITH.2007.24 (완전성)로 표시되었습니다.

— András Salamon

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Matt Groff가 제안한 것처럼, 영감을 얻기 위해 연습 커뮤니티를 살펴 보는 것이 좋습니다 (또는 상황에서 이 현재 CPU의 비트 폭 내에있는 경우). 실제로, 정수에 의한 정수 곱셈의 문제는 많은 컴파일러 작성기 및 회로 설계자들에 의해 고려되어 왔지만, 일반적으로 "멀티플렉서없는 멀티플렉서 (shift, add 및 빼기 사용)"에 관심이 있습니다. 내가 알고있는 초기 참고 문헌 중 하나는 (Hacker 's Delight 섹션 8.4에서 이것을 배웠습니다). $n$

Bernstein, R. (1986), 정수 상수의 곱셈. 소프트웨어 : 실습 및 경험, 16 : 641-652. 도 : 10.1002 / spe. 4380160704

Vincent Lefèvre의 최신 작품은 여기 에서 찾을 수 있으며 (그의 후속 작업을 확인하십시오) 효율적인 회로 합성 에 대한 CMU 프로젝트도 언급합니다 (참고 문헌 참조). 후자의 프로젝트는 상수 세트에 의한 동시 곱셈도 고려합니다.

추신 : 귀하의 사용자 이름을 인식 가능한 것으로 변경하는 것이 좋습니다.

— 매버릭 우
소스

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이것이 질문과 직접 관련이 있는지 확실하지 않지만 다음과 같은 기본 결과가 흥미로울 수 있습니다. 고정 된 자연수 주어지면, 이 역 이진 표기법 (즉, 최하위 비트 우선)으로 기록 되는 경우, 연산 은 순차적 오토 마톤에 의해 실현 될 수있다 . 오토 마톤의 상태 수는 이며 여기서 은 나누는 의 최대 거듭 제곱입니다 . 예를 들어, 동작 은 다음의 자동 장치에 의해 실현된다. $k$ $n \to kn$ $n$ $k/2^r$ $2^r$ $2$ $k$ $n \to 6n$

예를 들어, 및 입니다. 따라서 역 이진에서 는 및 (나쁜 선택, 알고 있습니다 ...)으로 됩니다. 이 오토 마톤에서 항목을 처리하면 경로가 나타납니다. $185 = 1 + 8 + 16 + 32 + 128$ $6 \times 185 = 1110 = 2 + 4 + 16 + 64 + 1024$ $185$ $10011101$ $1110$ $01101010001$ $\color{red}{10011101}$

\overset{0}{\to} 0 \overset{1 ∣ 1}{\to} 1 \overset{0 ∣ 1}{\to} 0 \overset{0 ∣ 0}{\to} 0 \overset{1 ∣ 1}{\to} 1 \overset{1 ∣ 0}{\to} 2 \overset{1 ∣ 1}{\to} 2 \overset{0 ∣ 0}{\to} 1 \overset{1 ∣ 0}{\to} 2 \overset{01}{\to}

$\xrightarrow{\color{green}0} 0 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}1} 1 \xrightarrow{\color{red}0\mid \color{blue}1} 0 \xrightarrow{\color{red}0\mid \color{blue}0} 0 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}1} 1 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}0} 2 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}1} 2 \xrightarrow{\color{red}0\mid \color{blue}0} 1 \xrightarrow{\color{red}1\mid \color{blue}0} 2 \xrightarrow{\color{green}{01}}$ 올바른 출력 합니다. 여기서 사용하고있는 순차 오토 마톤의 유형은 Schützenberger에 의해 연속적 으로 불려 졌습니다. 초기 접두사 (녹색)와 터미널 출력 기능이 있습니다.

01101010001

$\color{blue}{01101010001}$ (녹색). 이 순차 머신을 체계적으로 계산하는 방법에 대한 자세한 내용은이 링크를 참조하십시오 .

— 제이 핀
소스

당신의 의견에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까?

— J.-E.

k

$k$ 는 소수 입니다.

> 2

$>2$

— T ....

동작 실현 순차 오토 마톤의 구성 임의의 대해 수행 될 수있다 . 그러나이 오토 마톤을 계산하는 것이 프라임에 더 쉬울 수 있습니다 .

n \to k n

$n \to kn$

k

$k$

k

$k$

— J.-E.

\frac{k}{2^{r}}

$\frac{k}{2^r}$ 은 지수입니다.

— T ....

k

$k$ 는 고정 상수이며 과 관련이 없습니다 .

n

$n$

— J.-E.