로컬 스왑을 사용하여 그래프에서 토큰 섞기

가 정도가 제한된 비정규 연결 그래프라고 하자 . 각 노드에 고유 한 토큰이 있다고 가정하십시오. $G= (V, E)$

로컬 스왑 만 사용하여 그래프 사이에서 토큰을 균일하게 섞고 싶습니다 (즉, 두 개의 인접한 노드 사이의 토큰 교환)? 이 문제로 알려진 하한이 있습니까?

내가 가진 유일한 아이디어는 랜덤 워크 결과를 사용하고, 그래프에서 토큰을 전송하는 랜덤 워크의 효과를 "시뮬레이션"하는 데 필요한 스왑 양을 확인하는 것입니다.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— 실뱅 페이로 넷
소스

어떤 종류의 하한을 찾고 있습니까? 총 스왑 수는? 평행 라운드 수 (즉, 1 단계에서 일치하는 모든 모서리를 따라

바꿀 수 있습니까)? 기능으로 하한

? 모든 노드가

의 토폴로지를 알고 있거나 그에 따라 동작을 조정할 수 있습니까? 아니면 그래프에 적용 할 수있는 고정 된 전략을 찾고 있습니까?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

좀 더 구체적 이었어 야 했어요 목표는 랜덤 워크 기반 방법의 문제 (동일한 노드에서 충돌하는 여러 토큰으로 인한 정보 손실)를 피하는 센서 네트워크를위한 데이터 보급 방법을 설계하는 것입니다. 따라서 총 스왑 수 (네트워크에서 순환하는 메시지 수를 제공함)와 라운드 수 (수렴 시간을 대략적으로 추정)에 관심이 있습니다.

의 함수 인 LB는 괜찮고 노드는 토폴로지를 인식하지 못합니다 (불행히도).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

답변:

그래프가 경로라고 가정하십시오. 그렇다면이 문제는 인접한 항목을 교체하여 배열에서 임의의 숫자 시퀀스를 정렬하는 것과 같습니다. 모든 노드가 토폴로지를 인식하더라도 스왑 수에서 ^ 2 하한값을 얻습니다 (임의의 입력에서도 n ^ 2 인 버블 정렬보다 우수하지 않음).

— 레브 레이 진
소스

경로의 경우

에서 확률 1/2 믹스로 교체하는 과정은 Benjamini, Berger 및 Hoffman에 의해 입증되었습니다 (Diaconis와 Ram이 추측했습니다). 그래서 내 LB도 제가 생각하는 정도의 함수입니다.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Sylvain Peyronnet

이 LB는 스왑을 선택할 수 있어도 알고리즘을 향상시킬 수 없다고 말합니다 .... 그러나 (평균?) 정도가 올라 갈수록 문제가 더 쉬워 질 것입니다.

— Lev Reyzin

학위가 커질 때 어떻게 진행되는지 확인하기 위해 일부 시뮬레이션을 예약합니다.

— Sylvain Peyronnet

실제로 n / 2 노드의 경로로 연결된 n / 4의 2 개의 도끼 에서처럼 경로의 두 끝에 큰 틈이 있어도이 LB (일부 수정)가 유지되는 것처럼 보입니다. 이제 평균 학위는 O (n)이지만 여전히 n ^ 2를 이길 수는 없습니다. 아마도 우리는 최소한 정도를 부과해야합니까?

— 레프 레이 진

예, 최소 학위가 필요합니다 :(

— Sylvain Peyronnet

이 문제와 정렬 네트워크 사이의 관계를 지적하고 싶습니다. 예를 들어, 그래프가 경로 인 경우 사소한 선형 심도 정렬 네트워크 는 선형 라운드 수의 순열을 얻을 수 있음을 보여줍니다. 더욱이, 경로의 끝점에서 요소를 간단히 교환하려면 선형 라운드 수가 필요하기 때문에 이것은 빡빡합니다.

AKS 정렬 네트워크는 대수 라운드에서 순열을 얻을 수있는 그래프가 있음을 보여줍니다. 그리드 그래프의 경우 예를 들어이 강의 노트를 참조하십시오 .

(물론 정렬과 셔플은 다른 문제이지만 많은 상한과 하한이 관련되어 있습니다. 예를 들어 임의의 레이블을 선택하고 레이블을 기준으로 정렬하십시오.)

— 주카 수오 멜라
소스

포인터 주셔서 감사합니다. 나는이 방향으로 파헤칠 것입니다. 아마도 여기에 필요한 것이 아닐 수도 있습니다 (그래도 좋은 유형의 그래프가 있는지 확실하지 않습니다). 그러나 확실히 내가 조만간 사용할 것입니다!

— Sylvain Peyronnet