랜덤 스왑으로 원하는 순열을 생성 할 가능성

다음 문제에 관심이 있습니다. 우리는 순서대로 인덱스 목록뿐만 아니라 "타겟 순열" 을 입력으로 받는다 . 그리고,리스트로 시작 각 시간 단계에서 (즉, 아이덴티티 퍼뮤) 우리 스왑 에 소자 로 $\sigma\in S_n$ $i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$ $L=(1,2,\ldots,n)$ $t\in [m]$ $i_t^{th}$ $L$ $(i_t+1)^{st}$ 독립 확률이 인 요소 . 가 가 출력으로 생성 될 확률 이라고하자 . $1/2$ $p$ $\sigma$

다음 중 하나를 알고 싶습니다.

이 완전한 문제 인지 여부를 결정하고 있습니까? $p>0$ $NP$
계산이 정확히 완전합니까? $p$ $\#P$
곱셈 상수 내에서 를 근사화하는 것에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 이에 대한 PTAS가 있습니까? $p$

스왑이 인접한 요소 일 필요가없는 변형도 중요합니다.

이 문제를 에지 분리 경로 (또는 정수 값의 다중 상품 흐름)로 줄이는 것은 어렵지 않습니다. 내가 모르는 것은 다른 방향으로의 축소입니다.

업데이트 : OK, Garey & Johnson을 확인하면서 문제 [MS6] ( "순열 생성")은 다음과 같습니다. 목표 입력으로 주어 순열 함께 집합으로, , 결정할 제품으로 표현할 수있다 각각 어디 에 사소 역할 없는 모든 인덱스 . Garey, Johnson, Miller 및 Papadimitriou (유감스럽게도 월페이퍼 뒤에 있음)는이 문제가 hard 임을 증명합니다 . $\sigma\in S_n$ $S_1,\ldots,S_m\in [n]$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$ $\tau_i$ $S_i$ $NP$

경우 스와프가 인접 할 필요가 없습니다, 나는 이것이 의미 믿고 결정 여부 $p>0$ 도하는 -hard. 각 에 대해, 순서대로, 우리는 상의 완전한 분류 네트워크에 해당하는 "후보 스왑"세트를 제공 할 것입니다 (즉, 임의로 변경할 수 있음) 다른 모든 것에 사소한 행동). 그러면 스왑의 결과로 도달 할 수있는 경우에만 를 로 표현할 수 있습니다 . $NP$ $S_1,S_2,\ldots$ $S_i$ $S_i$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$

그래도 스왑이 인접한 요소로만 구성된 "원본"버전으로 계속 열려 있습니다. 계산 버전 (임의의 스왑 포함)의 경우 문제는 완전 해야 함을 강력히 제안합니다 . 어쨌든 아닌 한 PTAS를 배제합니다 . $\#P$ $P=NP$

— 스콧 애런 슨
소스

질문을 이해하지 못했습니다. 가능성은 어디입니까? 확률 1/2로 바꾸고 확률 1/2로 바꾸지 않습니까?

— arnab

@arnab 예. 스캇, 당신은 그것을 증명했습니다

, 여전히 NP-hard입니다. 직감은 "원본"문제가 더 쉬워야한다는 것입니다. 그러나 먼저 종이 축소를 사용하려고합니다.

| S_{i} | = 2

$|S_i|=2$

— didest

p> 0을 다항식 시간으로 결정할 수 있다고 생각합니다.

문제가되는 문제는 에지 분리 경로 문제로 쉽게 캐스트 될 수 있습니다. 기본 그래프는 가능한 인접 스왑을 나타내는 m 개의 정점과 m 개의 정점 을 포함하는 m +1 개의 레이어 로 구성된 평면 그래프 입니다. 이 그래프의 평면성은 인접한 스왑 만 허용한다는 사실에서 비롯됩니다.

내가 실수하지 않으면 이것은 Okamura와 Seymour [OS81]에 의해 해결 된 엣지 분리 경로 문제의 특수한 경우에 해당합니다. 또한 Wagner와 Weihe [WW95]는이 경우에 선형 시간 알고리즘을 제공합니다.

오카무라-시모어 정리와 바그너-바이 헤 알고리즘에 대한 훌륭한 설명을 제공하는 Goemans의 강의 노트 [Goe12]도 참조하십시오.

참고 문헌

[Goe12] Michel X. Goemans. 강의 노트, 18.438 고급 조합 최적화, 강의 23 . 매사추세츠 공과 대학, 2012 년 봄. http://math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81] 오카무라 하루코와 폴 디 시모어. 다중 상품은 평면 그래프로 흐릅니다. 조합 이론 저널, 시리즈 B , 31 (1) : 75–81, 1981 년 8 월. http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Dorothea Wagner와 Karsten Weihe. 평면 그래프의 에지 분리 경로에 대한 선형 시간 알고리즘. Combinatorica , 15 (1) : 135–150, 1995 년 3 월. http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465

— 이토 츠요시
소스