익스팬더 그래프에서 긴 유도 경로의 존재

하자가 그래프 가족 말 있다 긴 경로를 유도 있을 경우 상수 등 모든 그래프 것을 에서 에 유도 경로를 포함 꼭짓점. 긴 유도 경로의 존재를 보장하는 그래프 패밀리의 속성에 관심이 있습니다. 특히, 나는 현재 일정한 정도의 확장기가 긴 유도 경로를 가지고 있는지 궁금합니다. 여기 내가 아는 것이 있습니다. $\mathcal{F}$ $\epsilon > 0$ $G$ $\mathcal{F}$ $|V(G)|^{\epsilon}$

(Erdős-Rényi 모델에서) 일정한 평균 정도를 가진 랜덤 그래프는 길고 (선형 크기의) 유도 경로가 높으며; 예를 들어 Suen의 기사를 참조하십시오 .
고유 이웃 확장기 그래프 ( Alon 및 Copalbo에 의해 정의 됨 )에는 큰 유도 트리가 있습니다. 실제로, 최대 유도 트리는 이러한 그래프에서 큽니다.

이 두 가지 사실을 감안할 때, 나는 contant-degree 확장기가 길을 길 렀을 것으로 기대합니다. 그러나 구체적인 결과를 찾지 못했습니다. 모든 통찰력을 높이 평가합니다.

graph-theory expanders

— 바트 얀센
소스

경계도 그래프가 일정한 확장 특성과 거스름 을 모두 갖는 경우 답은 양수 여야합니다 . 논점은 다음과 같습니다 : 정점에서 시작한 다음 단계에 대해 우리가 이전 단계로 돌아 가지 않는 단계 중에서 각 단계가 무작위로 선택된 단계를 밟습니다. (그래서 그래프가 정규 이면 각 단계마다 무작위 선택이 있습니다.) $\Omega( \log n)$ $n^\epsilon$ $d$ $d-1$

$i$ $j$ $i$ $j$ $i$ $j$ $n^{-\Omega(1)}$ $\epsilon$ $1-o(1)$

$|i-j|$ $i$ $j$ $j> i+ \Omega(\log n)$ $(i,j)$ $n^{-\Omega(1)}$ $v$ $n^{\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ $O(1)$ $v$ $n^{-\Omega(1)}$

— 루카 트레비 산
소스

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$