흥미로운 연구 문제를 찾는 방법

수년간의 수업에도 불구하고 연구 주제를 선택할 때 여전히 상실하고 있습니다. 여러 분야의 논문을 살펴 보았고 교수들과 이야기를 나누었으며 이것이 잘못된 접근법이라고 생각하기 시작했습니다.

흥미로운 문제를 발견하고 (해당 영역을 신경 쓰지 않음) 그 문제를 해결하는 데 도움이된다는 것을 읽었습니다. 교과서는 유명한 미해결 책을 언급하지만 직접 다루고 싶지는 않습니다. 연구 논문은 실패한 시도가 아닌 긍정적 인 결과만을 언급했습니다.

흥미로운 연구 문제를 어떻게 찾을 수 있습니까? 흥미로운 연구 문제는 어떻게 찾습니까? 어딘가에 목록이 있습니까?

특정 문제를 해결할 가치가 있는지 어떻게 결정합니까?

"열린 문제 목록 찾기"접근 방식에 강력하게 동의하지 않습니다. 일반적으로 공개적인 문제는 진전을 이루기가 매우 어렵고 기술 분야에서 어렵지만 흥미롭지 않은 문제를 해결함으로써 좋은 연구가 이루어지고 있음을 완전히 확신하지 못합니다.

물론 열린 문제를 해결하는 것은 학업 자격 증명에 정말 좋습니다. 그러나 그것은 당신이 요구하는 것이 아닙니다.

리서치는 높은 수준의 이해 를 생성하도록 설계된 프로세스입니다 . 기술적 문제를 해결하는 것은 그 목적을위한 수단입니다. 종종 문제와 그 해결책은 일부 과학적 현상 (수학적 구조, 프로그래밍 언어 연습 등)의 구조 나 행동을 조명합니다.

그래서 나의 첫번째 제안은 : 당신이 이해하고 싶은 문제를 찾으십시오. 연구는 근본적으로 혼란에 관한 것입니다. 관심있는 특정 주제가 있지만 근본적으로 불완전한 이해력이 있거나 기술적으로 명확 해 보이지만 직감이 부족하다고 생각하십니까? 그것들은 좋은 출발점입니다. Terry Tao의 조언에 따라 바보 같은 질문을하십시오! 이러한 고려에서 많은 좋은 연구가 이루어집니다. 실제로이 전체 페이지 에는 많은 좋은 조언이 들어 있습니다. 잘 탐구 된 문제 나 분야를보고 있다면 당장 독창적 인 통찰력을 얻지 못할 수도 있으므로 자신의 탐구와 동시에 문학을 읽는 것이 중요합니다.

둘째, 교수와의 커뮤니케이션을 할인하지 마십시오. 그들이 당신에게주고 싶은 프로젝트에 관한 것이 아니라 그들 자신의 연구에 대해 물어보십시오. 대화에 참여하십시오! 이것은 당신이 관심있는 것뿐만 아니라 그들의 연구 분야가 어떻게 보이는지 알아내는 데 도움이됩니다. 연구는 진공 상태에서 일어나지 않으므로 동료 학생들, 부서의 박사 학위, 대학의 대화 및 워크샵 등으로 가야합니다. 연구 환경에 몰두하면 연구 수행에 도움이된다는 것을 알 수 있습니다. 목록이나 특정 문제를 찾아서 사무실에서 자신을 잠그는 것보다 훨씬 더.

마지막으로 작은 작업을 제안 합니다. 연구는 하향식보다 훨씬 상향식이며, 매우 간단한 작업 (증명서 또는 프로그램 작성)이 예상만큼 단순하지 않은 경우는 드 rare니다. 연구 규모가 아닌 여러 소규모 프로젝트를 수행하면 (숙제 확장, 배운 내용에 대한 설명 작성) 종종 실제 연구 수준의 물건으로 쌓입니다. 처음에는 "크게"노력하는 것이 일반적이지만, 이제는 우리의 두뇌가 작동하는 방식입니다.

David Hilbert 는 저명한 수학자입니다. 그는 1900 년 파리 국제 수학자 대회에서 23 개의 미해결 문제 목록을 발표했다.
나는 유리 마닌의 인터뷰에서 힐버트와 그의 목록에 대해 "좋은 증거는 우리를 더 현명하게 만드는 증거"라는 제목 을 인용하고 싶다 .

올해 국제 회의는 금세기의 마지막 ICM입니다. 힐버트가 여전히 가능하다고 생각하십니까? 힐버트 문제에 해당하는 현대적인 문제가 있습니까?
힐버트의 목록이 이번 세기의 수학에서 큰 역할을했다고 생각하지 않습니다. 그것은 많은 수학자들에게 심리적으로 중요했습니다. 예를 들어 Arnold는 젊은 대학원생이면서 Hilbert 문제 목록을 자신의 공책에 복사하여 항상 그와 함께 보관했다고 말했습니다. 그러나 Gelfand는 그 사실을 알았을 때 실제로 Arnold를 조롱했습니다. 아놀드는 문제 해결이 훌륭한 수학 성취의 필수 부분으로 보았습니다. 저에게는 다릅니다. 나는 수학적 창작의 과정을 기존의 패턴을 인식하는 일종으로 본다. 토폴로지, 확률, 수 이론 등 무엇인가를 연구 할 때 먼저 광대 한 영토에 대한 일반적인 비전을 얻은 다음 그 중 일부에 집중합니다. 나중에 "무엇이 있습니까?"및 "다른 사람들이 이미 본 것"을 인식하려고합니다.
산을 정복하는 위대한 영웅 인 일종의 낭만적 인 견해를 해결하는 데 문제가 강조됩니까?
예, 어쨌든 일종의 낚시를 좋아하는 견해. 나는 그것이 관련이 없다고 말하지 않습니다. 젊은이들이 큰 성과를 거두기 위해 사회적 인정을 받도록 유혹하는 심리적 장치 인 젊은이에게는 매우 중요합니다. 좋은 문제는 큰 수학적 사고의 비전을 구체화 한 것으로서, 어떤 높이로 이어지는 길을 볼 수는 없지만 산이 있다는 것을 인식했습니다. 그러나 수학을 보는 방법이나 일반 대중에게 수학을 제시하는 방법은 없습니다. 그리고 본질이 아닙니다. 특히 그러한 문제가 목록에 포함될 때, 그것은 세계의 위대한 국가의 수도 목록과 같습니다. 가능한 최소한의 정보를 전달합니다. 힐버트가 이것이 수학을 정리하는 방법이라고 생각했다고 생각하지 않습니다.

이것은 궁극적으로 주관적이고 개인적인 질문이며 어느 정도 중요한 문제가 과학적 방식으로 들어오고 나가는가에 대한 "장기적으로"이지만, 많은 사람들이 동의 할만한 대략적인 공통 지침과 최고 전문가들이 가지고있는 질문을 고려했습니다. 문제는 매우 편재하고 있으며 더 좁히는 과정입니다.

• 목록의 # 1은 거의 항상 고문과상의하십시오! 그것은 그들의 일의 일부이며, 그 / 그녀는 아마도 그다지 큰 징조가 아닌 다른 아이디어가 나오지 않으면 다른 이익을 얻거나 필요로 할 것이라고 생각합니다.

• 당신 대학의 많은 사람들이 무엇을하고 있습니까? 각 대학은 일반적으로 특정 전문 분야를 가지고 있으며 특정 분야 / 문제에 대한 열정이나 흥분이있을 것입니다.

• 해당 분야의 상을보고 그들이 공부하는 분야 또는 상을보십시오. TCS에서 튜링 상 , 고 델상 , 네반 린나 상 , 밀레니엄 상 . 분명히 이것은 최고 / 획기적인 작업을위한 것이지만 본질적으로 모두 점진적인 작업이있는 넓은 영역을 포함합니다.

• TCS 블로그 는 다양한 문제에 대한 커뮤니티의 관심을 불러 일으키는 훌륭한 소스입니다.

또한이 질문에 대답하기 위해 다음과 같은 의미에서 "뿌리로 돌아가는"통찰력이있을 수 있습니다. 이 분야의 전설적인 마스터 중 한 명은 가능한 최고 기록 중 하나이며 수학자 힐버트 (Hilbert)이며, 문제 선택에 대한 그의 기본 아이디어 중 많은 부분이 적용 및 검토 / 연구 할 가치가 있습니다. 20 세기 초에 수학을 이끌어 낸 그의 많은 열린 문제 는 알고리즘 이론과 관련하여 결정적이지 않은, 예를 들어 고델의 수학, 정지 문제, 중추적 10 문제 와 같은 놀랍고도 깊은 연관성이있는 것으로 밝혀졌다 . 그의 견해는 Collatz 추측을 "좋은 문제"로 평가하는 9 초인 Lagarias에 의해 요약됩니다 :

문제의 가치를 미리 정확하게 판단하는 것은 어렵고 종종 불가능합니다. 최종상은 과학이 문제에서 얻는 이득에 달려 있습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 좋은 수학 문제를 나타내는 일반적인 기준이 있는지 묻습니다. 한 프랑스의 한 수학자는 이렇게 말했다.“수학적 이론은 거리에서 처음 만난 사람에게 설명 할 수있을 정도로 명확 해지기 전까지는 완전한 것으로 간주되어서는 안됩니다.”이 명확성과 이해의 용이성은 여기에서 주장했다. 수학적 이론의 경우, 나는 그것이 완벽하기 위해서는 여전히 수학적 문제에 대한 더 많은 요구를해야한다. 명확하고 쉽게 이해되는 것들을 끌어 들이기 때문에 복잡한 것은 우리를 격퇴시킵니다. 더구나 수학 문제는 우리를 유혹하기는 어렵지만 완전히 접근 할 수는 없지만 우리의 노력에 조롱하지 않도록하십시오. 숨겨진 진리로 향한 길을 안내하는 안내서가되어야하며 궁극적으로 성공적인 해결책에 대한 우리의 기쁨을 상기시켜줍니다.

Lagarias는 이러한 요소를 다음과 같이 요약합니다.

1. 문제가 명확하고 간단하게 언급 된 문제입니까?
2. 어려운 문제입니까?
3. 접근하기 쉽고 "해결하기위한 노력을 조롱하지"않습니까?

불행히도 많은 개방형 문제가 3 위에서 실패하지만 언급 한 바와 같이 항상 접근하기 쉬운 것으로 간주되는 문제와 이완이 항상 있으며 이러한 완화를 공식화하는 것만으로도 유효한 연구의 일부로 간주 될 수 있습니다.