복잡성 이론에는 어떤 수학적 배경이 필요합니까?

저는 현재 학부생이며 올해 졸업해야합니다. 졸업 후 TCS 마스터 / PhD를 위해 일하고 싶습니다. TCS에 유용한 수학 분야, 특히 (고전적인) 복잡성 이론이 궁금합니다.

복잡성 이론을 연구하려는 사람에게 어떤 분야가 필수적이라고 생각하십니까? 이 분야를 다루는 좋은 교과서를 알고 있다면, 난이도 (초급, 대학원 등)를 포함 시키십시오.

복잡성 이론에서 많이 사용되지 않는 필드를 고려하지만 TCS에 중요하다고 생각되는 필드도 참조하십시오.

이 TCS StackExchange 질문에 대한 답변을 보면 복잡한 이론에서 수학의 거의 모든 영역이 중요 할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 관련이없는 것으로 보이는 일부 수학 영역에 관심이 있다면 계속해서 공부하십시오. 그것이 복잡성 이론과 관련이 있다면, 당신은 그것을 이해하는 소수의 복잡성 이론가 중 하나가 될 것입니다.

당신은 추가해야 덱스터 코젠의 책을 목록에 계산의 이론에. 복잡한 이론의 기초를 매우 효과적으로 다루고 짧은 강의 형식이 좋습니다.

위에서 언급 한 것 외에도 수학적 배경과 관련하여 :

• 확률 이론
• 선형 대수와 추상 대수
• 그래프 이론
• 기본 논리

나는 당신이 시작하기 위해이 주제의 주인이 될 필요는 없다고 생각하지만 확실히 특정 수준의 편안함을 갖는 데 도움이됩니다.

A C $\bullet$ Stasys Jukna의 Extremal Combinatorics 라는 책 은 복잡한 커뮤니티에서 IMO가 너무 잘 알려져 있지 않습니다. TCS의 응용 프로그램을 중심으로 작성된 조합 기술의 훌륭한 모음입니다 (주로 복잡성). 모노톤 및 회로 하한 과 같은 유명한 결과를 포함하여 여러 가지 중요한 복잡성 기술이 조합 컨텍스트에서 논의됩니다 . 그리고 많은 운동이 있습니다.$AC^0$

이 책은 (조합 지식의 선형 대 수법) 깊이를 다루는 유일하게 출판 된 유일한 책입니다. Babai와 Frankl의 초안 원고가 훨씬 더 깊이 있지만 출판되거나 온라인으로 제공되지는 않습니다.

https://cs.uchicago.edu/page/linear-algebra-methods-combinatorics-applications-geometry-and-computer-science

$\bullet$ 아마 아시다시피, 조합론의 확률 론적 방법은 복잡한 이론에서 매우 중요하고 심지어 중심적입니다. Jukna의 책은이 책을 다루고 있지만 Alon과 Spencer의 유명한 책 The Probabilistic Method에 의해 더 많은 깊이있게 다루어 집니다.

이전 답변에는 이미 확률 이론, 조합론, 선형 대수학, 추상 대수학 (유한 필드, 그룹 이론 등)이 나와 있습니다.

나는 추가 할 것이다 :

푸리에 분석 , 예 : Ryan O'Donnel의 과정 참조 : http://www.cs.cmu.edu/~odonnell/boolean-analysis/

코딩 이론 은 Madhu Sudan의 과정을 참조하십시오 : http://people.csail.mit.edu/madhu/coding/course.html

정보 이론 , 표준 서적은 정보 이론의 요소입니다 : http://www.amazon.com/Elements-Information-Theory-Telecommunications-Processing/dp/0471241954

또한 표현 이론, 무작위 걷기 및 더 많은 것들을 잊어 버릴 것입니다 ...

기본적인 것 외에도 아마도 :

• 조합론 -당신은 당신이 아주 규칙적으로 물건을 세는 것을 발견 할 수 있습니다.
• 확률론 -평균 사례 분석 및 무작위 알고리즘

나는 Knuth의 Concrete Mathematics 를 좋아 합니다. 많은 중요한 도구에 대한 좋은 개요 / 기본 지식을 제공합니다.

당신이 좋아하는 경우 기능을 생성 (참조 generationfunctionology 도구로 윌프에 의해)을, 복잡한 분석 도 유용합니다.

Sanjeev Arora는 "1 차 학생들을위한"대학원 과정에 대한 훌륭한 문서 를 가지고 있습니다 . "이론가의 툴킷"은 이론 학생이 알아야 할 기본 자료가 많이 있습니다. 이 많은 것들이 대학원 때까지 기다릴 수 있지만 알아야 할 사항과 일부 전제 조건에 대한 좋은 아이디어를 제공합니다.

TCS 커뮤니티의 많은 성공적인 연구자들에게 공통적이지는 않지만 보편적 인 패러다임은 다음과 같습니다. 논리, 선형 대수, 확률, 최적화, 그래프 이론, 조합론, 기본 추상 대수와 같은 학부 수준의 몇 가지 기본 사항을 알고 있습니다. 그 외에도 몇 달 동안 어려움을 겪고있는 문제를 해결하기 위해 필요하다고 생각 될 때까지, 또는 그것을 위해 무언가를 배우는 것이 정말 즐거울 것이라고 생각할 때까지 다른 것을 배우도록 강요하지 마십시오.

"이전에 본 적이 없다면 어떻게해야하는지 어떻게 알 수 있습니까?"라고 묻습니다. 좋은 질문. 때때로 당신은 운이 좋으며 그것을 감지합니다. "내가 아는,이 하위 문제는 푸리에 변환을하지 않는 푸리에 변환과 같은 소리를 다루려고합니다. 프레드가 닫히지 않을 것입니다. 나는 그것을 확인하거나 프레드해야합니다. 방에 들어가서 기초를 빠르게 익히 게 해주세요. " 다른 시간에, 당신은 방에있는 자신보다 더 많은 지식을 가진 사람들을 함정에 빠뜨리고, 세미나 연설이나 무엇인가를 말함으로써, 프레드가 차임 할 때까지이 문제를 어떻게 해결할 수 없는지에 대해 "이봐, 당신은 내기 푸리에 분석으로이 문제를 해결할 수 있습니다. 방법을 알려 드리겠습니다. " 결국, 당신은 Fred와 공동 논문을 얻었고, 당신은 새로운 것을 배웠으며, 당신과 Fred는 지금 최고의 친구들이며 토요일 밤마다 술을 마시 러 나갑니다.

유용 하지 않은 수학 필드 목록은 필드 목록보다 훨씬 짧을 것이라고 생각합니다! 나는 생각할 수 없다.

수학이 흥미로워 보이는지, 그리고 / 또는 현재 필요한 것으로 보이는 것을 연구하십시오. 직접 사용하지 않더라도 다른 일을 배우는 데 도움이됩니다.

기본 수학 논리에 대한 지식은 제 생각에는 플러스입니다. Cori와 Lascar의 두 권의 책을 볼 수 있습니다.

수학 논리 : 연습 파트 I

수학적 논리 : 연습 파트 II 과정

이 책들을 살펴 보는 것이 좋습니다.

• 프린스턴 동반자 수학
• 컴퓨터 과학의 논리; 시스템 모델링 및 추론

또한, MFCS (Mathematical Foundations of Computer Science) 컨퍼런스 의 주제는 어떤 종류의 배경이 필요할 수 있습니다. (주의 사항 : 회의에는 고급 주제가 포함되어 있습니다. 주제를 습득 할 필요는 없습니다. 큰 그림을 얻으려고하면됩니다.)

숫자 이론은 언급되지 않았지만 많은 암호화 및 복잡도 이론 구성에 매우 중요한 도구입니다.

유한 그룹 (유한 필드 이상)의 표현 이론은 놀랍게도 다음을 포함한 다양한 작업에 유용 할 수 있습니다.

• 행렬 곱셈 알고리즘 ( Cohn--Kleinberg-Szegedy-Umans )

• 지역적으로 해독 가능한 코드 구성 (예 : Klim Efremenko 의이 논문 참조 )

• 양자 컴퓨팅 응용 (비 표지 그룹에 대한 숨겨진 부분 군 문제, 곱셈 적대적 방법)

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Garey와 Johnson의 책을 읽는 것이 좋습니다

컴퓨터와 다루기 어려움 : NP- 완전성 이론 안내서 .

이것은 수학적 배경이 거의없이 읽을 수 있습니다. 나는이 책을 읽는 것이 기쁘다 고 생각하며 Papadimitriou와 Arora / Barak에 관한 첫 번째 책으로 추천합니다. 이 책을 읽고 나면 다른 책을 읽고 관심있는 고급 주제를 이해하는 데 필요한 여러 가지 수학을 식별 할 수 있습니다.

옛날 옛적 에 UWaterloo CS 의 학부 레벨 과정 CS464 (2002) 는 1994 년에 Christos H. Papadimitriou의 전산 복잡성 , Addison-Wesley를 사용했습니다.

나열된 배경 주제에는 튜링 머신, 결정 불가능 성, 시간 복잡성 및 NP- 완전성이 포함됩니다.

배경은 QA267.G57 근처에서 라이브러리를 찾아보십시오 (Goddard 's Introducing theory of Introducing theory of a quick skim read and two available to 내게는 배경의 CS 쪽을 다루는 것 같습니다. 순수한 수학 측면의 이론도 유용 할 것입니다.)