가역 게이트 분류

1941 년 Emil Post가 기술 한 Post 's lattice 는 기본적으로 단일 톤 함수, GF (2)를 통한 선형 함수 및 모든 함수와 같이 구성으로 닫히는 부울 함수 세트의 완전한 포함 다이어그램입니다. (포스트는 상수 0과 1을 무료로 사용할 수 있다고 가정하지 않았기 때문에 격자가 다른 것보다 훨씬 복잡해졌습니다.)

내 질문은 Toffoli 및 Fredkin 게이트와 같은 고전 가역 게이트에 대해 유사한 것이 게시되었는지 여부 입니다. 즉, {0,1} ⁿ 에 대한 가역적 변환의 어떤 클래스 는 가역적 게이트의 일부 집합에 의해 생성 될 수 있습니까? 규칙은 다음과 같습니다. {0,1} ⁿ 의 변환이 완료되면 모든 ancilla 비트가 초기 설정으로 돌아 오는 한 무제한 ancilla 비트 수, 일부는 0으로 사전 설정되고 다른 일부는 1로 사전 설정 이 허용됩니다. 끝마친. 또한 2 비트의 SWAP (즉, 인덱스 레이블 재 지정)은 항상 무료로 제공됩니다. 이 규칙에 따라 저의 학생 Luke Schaeffer와 저는 다음과 같은 열 가지 변형을 확인할 수있었습니다.

빈 세트
NOT 게이트에 의해 생성 된 세트
NOTNOT에 의해 생성 된 세트 (즉, 비트 중 2 개에 적용되는 NOT 게이트)
CNOT에 의해 생성 된 세트 (즉, Controlled-NOT 게이트)
CNOTNOT에 의해 생성 된 세트 (즉, 첫 번째 비트가 1 인 경우 두 번째 및 세 번째 비트를 뒤집 음)
CNOTNOT 및 NOT에 의해 생성 된 세트
Fredkin (즉, Controlled-SWAP) 게이트에 의해 생성 된 세트
Fredkin과 CNOTNOT이 생성 한 세트
Fredkin, CNOTNOT 및 NOT에서 생성 한 세트
모든 변형 세트

우리는 남은 가족을 식별하고 분류가 완료되었음을 증명하고 싶습니다. 그러나 많은 시간을 소비하기 전에 다른 사람이 이전에 해본 적이 있는지 알고 싶습니다.

circuit-families

— 스콧 애런 슨
소스

NOTCSWAP가 제어 스왑과 같지만 c 인수가 0 일 때 x, y 인수를 교환합니다 (CSWAP에서와 같이 c가 1 일 때 교환하는 대신). 모든 해밍 가중치 보존 순열을 얻으려면이 두 가지가 필요합니다. CSWAP는 해밍 가중치 ≥2의 벡터 만 치환하고 NOTCSWAP는 해밍 웨이트 ≤n-2의 벡터 만 치환합니다.

— David Eppstein

또한 더 많은 수의 제어 비트를 0 또는 0이 아닌 값으로 요구함으로써 해밍 가중치 보존 순열의 더 제한된 하위 집합을 얻을 수 있으며, 적어도 또는 최대 임의의 해밍 가중치를 갖는 순열 벡터 만 경계. 따라서 이것은 많은 클래스의 변환을 제공합니다.

— David Eppstein

고마워, 데이비드-그러나 나는 그러한 "통과"를 배제하기 위해 0과 1 개의 ancillas가 무료로 이용 가능하다고 가정했다. 그렇지 않습니까?

— Scott Aaronson

하자

C_{n}

$C_n$ 해밍 무게 모듈로 보존되는 모든 변경의 클래스가

n

$n$ . 그러면

C_{n}

$C_n$ 요구 사항을 충족시키고

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$ iff

m | n

$m|n$ : noninclusions의

C_{n}

$C_n$ 곳이 목격되고

n

$n$ -ary 함수

f_{n}

$f_n$ 일

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$ ,

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$ 및

f (x) = x

$f(x)=x$ 입니다. 특히, 이러한 무한히 많은 클래스는 모두 다릅니다.

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— Emil Jeřábek은 Monica

이러한 아이디어가 다듬어 졌고 아래 Emil의 답변을 참조하는 eccc.hpi-web.de/report/2015/066 문서를 참조하십시오 .

— András Salamon

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ 이것은 표준 클론-이중 클론 이중성과 같은 가역적 변환에 대한 이중성의 절반을 나타냅니다 (예 : 여기 ). 질문에 대답하지는 않지만 그러한 함수의 닫힌 클래스는 모두 특정 형식의 속성을 보존하여 결정됨을 보여줍니다.

표준 사례와 달리 주요 합병증은 순열이 계산 될 수 있고 (카디널리티를 유지함) 불변 인이이를 설명하기 위해 약간의 산술이 필요하다는 것입니다.

잠정적 인 용어부터 시작하겠습니다. 유한베이스 세트 수정하십시오 $A$ . (고전의 경우 Scott은 에 대해 묻습니다 $A=\{0,1\}$ . 토론의 일부는 무한한 대해서도 작동 $A$ 하지만 주요 특성은 아닙니다.)

순열의 집합 (또는 가역 변환)는 서브 세트 $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ , $\sym(X)$ 의 순열의 그룹이고 $X$ . 순열 클론 순열의 집합 $\cC$ 그러한

각 $\cC\cap\sym(A^n)$ 은 조성에 따라 닫힙니다.

어떤 옵션 $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ , 순열 $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ 에 의해 정의 $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ 은 $\cC$ 있습니다.

만약 $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ 및 $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ , 순열 $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ 에 의해 정의 $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ 에 $\mathcal C$ .

이후 1 개 수단 유한 의 서브 그룹 인 . OP는 전치 2 만 요구 하지만 여기서 버전은 분명히 동일합니다. 조건 3은 위의 주석에서 더미 변수 도입이라는 것과 동일합니다. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

마스터 복제는 ancillas의 수당 순열 클론입니다 :

하자 , 및 같은 것이 모든 . 이어서 의미 . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

우리는 특정 불변에 의해 순열 클론과 마스터 클론을 특성화하는 것을 목표로합니다. 먼저 에 대한 몇 가지 예를 통해 후자에게 동기를 부여하겠습니다 . $A=\{0,1\}$

해밍 가중치를 유지하는 순열의 마스터 복제본 (Fredkin 게이트에서 생성). 가 에 포함을 나타내는 경우 이러한 순열은 특성으로 특성화됩니다. $w$ $\{0,1\}$ $\N$ 여기서,, 및 I는 물품.
$와이 = 에프 (엑스) ⟹ \sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({엑스}_{나는}) = \sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({와이}_{나는}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
주석에 언급 된 해밍 가중치 모듈로 고정 보존하는 순열의 마스터 클론 . 를 에서 고리 형 그룹 까지의 함수로 해석 하고 그 합을 계산하면 위와 동일한 공식이 특징 입니다. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
아핀 순열의 마스터 클론 , , (CNOT에서 생성). 용이 한 검사 (또는 포스트 케이스로부터 알)이 단일 출력 함수 가 관계를 유지 IFF에 어파 인 $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ . 따라서 을 하면 은 클론에 있습니다. iff $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$승 ({엑스}^{1}, {엑스}^{2}, {엑스}^{삼}, {엑스}^{4}) = {엑스}^{1} \oplus {엑스}^{2} \oplus {엑스}^{삼} \oplus {엑스}^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ 우리는 모노 이드의 합계를 다루고 있으므로. ${와이}^{1} = 에프 ({엑스}^{1}) \land \dots \land {와이}^{4} = 에프 ({엑스}^{4}) ⟹ {최대}_{나는 = 1}^{엔} 승 ({엑스}_{나는}^{1}, \dots, {엑스}_{나는}^{4}) = {최대}_{나는 = 1}^{엔} 승 ({와이}_{나는}^{1}, \dots, {와이}_{나는}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$

일반적으로 가중치 함수 는 매핑 이며, 여기서 이고 은 정류 적 모노 이드입니다. 마스터 가중치 함수는 모든 대각 맵핑 하나 -tuples을 , 의 가역 요소 . 보자 모든 체중 기능의 클래스를 나타내며, 마스터 체중 기능. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

경우 및 가중 함수, 우리는 말할 이다 불변성 , 또는 (아무렇게나 용어 차입) A는 다형성 및 기록 , 다음 조건이 모든 $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ : $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

경우 , 그런 다음 $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({엑스}_{나는}) = \sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({와이}_{나는}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

여기에서 , 및 대해서도 비슷합니다 . 즉, 경우 (또는 그 대신에 평행하게 연장 )의 합계 유지 의 인수를 -weights. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

관계 와 와 (또는 ) 순열 세트 사이 갈루아 연결 유도 , 무게 함수 클래스 , 일반적인 방법 : $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$ 각각의 치환이 닫힌 집합 및 (마스터) 가중 함수 폐쇄 클래스의 전체 격자 사이 따라서 이중 동형. 우리가 올바른 길을 가고 있음을 확인하기 위해 닫힌 순열 세트가 실제로 클론임을 관찰합니다.

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

보조 정리 : 만약 다음 순열 클론이다. 경우 다음 마스터 클론이다. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

증명 : 첫 번째 주장은 다소 분명합니다. 두 번째로, , 는 조건 4에서와 같이 이고, 는 의 정의에서와 동일하게하십시오 . 넣어 , $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ 및 . 이어서 의미하는 $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$ 그러나, 에서 가역이다 으로 따라서, 마스터 가중치 함수

\sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({엑스}_{나는}) + \sum_{나는 = 1}^{엠} 유_{나는} = \sum_{나는 = 1}^{엔 + 엠} 승 ({\bar{엑스}}_{나는}) = \sum_{나는 = 1}^{엔 + 엠} 승 ({\bar{와이}}_{나는}) = \sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({와이}_{나는}) + \sum_{나는 = 1}^{엠} 유_{나는} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({엑스}_{나는}) = \sum_{나는 = 1}^{엔} 승 ({와이}_{나는}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

계속 진행하기 전에 한 가지 문제를 해결해야합니다. 단일체는 거대 할 수 있으므로이 형태의 변형은 쓸모없는 추상 넌센스로 의심 될 수 있습니다.

첫째는, 가중치 함수 주어진다 , 우리가 가정 할 수 의해 생성 (마스터의 경우, 대각 원소의 이미지 첨가제 역함수에 의해)의 다른 요소로 입력하지 사진. 특히, 은 유한하게 생성됩니다 . 둘째, 보편적 인 대수학에서 일반적으로 결과로, 우리가 쓸 수있는 subdirect 제품으로 각 $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

엠 \subseteq \prod_{나는 \in 나는} 엠_{나는},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$ 는 간접적으로 돌이킬 수없고,

는

번째 생성물 투영

를 통한

의 몫 이고; 특히, 그것은 여전히 유한하게 생성 된 정류 일산 체이다. Mal'cev의 결과로, fg subdirectly unreducible commutative monoids (또는 semigroups)는 사실상 유한 합니다. 매핑

는 다시 가중치 함수이며,

경우 마스터 이며

임을 쉽게 알 수 있습니다.

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

따라서 일반성을 잃지 않고 무게 함수

주의를 제한 할 수 있습니다

여기서

은 유한하고 간접적으로 되돌릴 수 없습니다. 하자

체중 기능의 종류, 그리고 넣어

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

유한 subdirectly 기약 가환 monoids로서는 환상 그룹 인

, 및 절단 부가 monoids

. 일반적인 경우는 더 복잡하지만 그럼에도 불구하고 구조에 대해 많은 것을 말할 수 있습니다. 하나는

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

및 일부 속성을 갖는 유한 nilsemigroup입니다. 자세한 내용은그릴을 참조하십시오.

C (p^{d})

$C(p^d)$

이제이 게시물의 요점을 준비했습니다.

정리 : Galois 연결에서 유한 한 부분적으로 돌이킬 수없는 (마스터) 가중치 함수에 대한 닫힌 순열 세트는 정확히 순열 클론 (마스터 클론, 각주)입니다.

경우 즉, 다음에 의해 발생 된 순열 복제 인 및 마스터에 의해 생성 된 복제 인 . $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

$\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

$k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

{엑스}_{1} \dots {엑스}_{엠} \sim {와이}_{1} \dots {와이}_{엠} ⟺ \exists 지 \in 기음 \cap 심 ({에이}^{엠}) \forall j = 1, \dots, 케이 지 ({엑스}_{1}^{j}, \dots, {엑스}_{엠}^{j}) = ({와이}_{1}^{j}, \dots, {와이}_{엠}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$ .

따라서 우리는 몫의 monoid를 형성 할 수 있습니다 $M=F/{\sim}$ . 스왑 순열은 $xy\sim yx$ 각각 $x,y\in A^k$ ; 즉, 발전기 $M$ 통근, 따라서 $M$ 정식입니다. 가중치 함수 정의 $w\colon A^k\to M$ 자연스럽게 포함 $A^k$ ...에서 $F$ 몫지도로 구성됩니다.

보기 쉽다 $\cC\subseteq\pol(w)$ : 실제로 $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ , $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$ 그런 다음

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$ by the definition of

\sim

$\sim$ (using the notation as in the definition of

∥

$\pres$ ). On the other hand, assume

f ∥ w

$f\pres w$ . Let

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$ be an enumeration of

A^{n}

$A^n$ ,

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$ , and let

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$ for

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$ be again as in the definition of

∥

$\pres$ . Then

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ hence by the definition of

\sim

$\sim$ , there exists

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$ such that

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$ for each

j

$j$ . However, since the

a^{j}

$a^j$ exhaust

A^{n}

$A^n$ , this means

g = f

$g=f$ , i.e.,

f \in C

$f\in\cC$ , a contradiction. This completes the proof for permutation clones.

Even if $\cC$ is a master clone, $w$ needn’t be a master weight function, in fact, the diagonal elements are not even necessarily cancellative in $M$ , hence we need to fix it. For each $c\in A$ , let $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ , and define a new equivalence relation $\approx$ on $F$ by

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$ Using the fact that elements of

A^{k}

$A^k$ commute modulo

\sim

$\sim$ , it is easy to show that

\approx

$\approx$ is again a congruence, hence we can form the monoid

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ , and a weight function

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$ . Since

\approx

$\approx$ extends

\sim

$\sim$ ,

M^{'}

$M'$ is commutative, and a quotient of

M

$M$ ; in particular,

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$ . On the other hand, if

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$ , then the same argument as above together with the definition of

\approx

$\approx$ would give a

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$ , and

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$ such that

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$ for all

x \in A^{n}

$x\in A^n$ , thus

f \in C

$f\in\cC$ as

C

$\cC$ is a master clone, a contradiction.

The definition of $\approx$ ensures that

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$ for all

x, y \in F

$x,y\in F$ , and

c \in A

$c\in A$ . It follows that the elements

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$ are cancellative in

M^{'}

$M'$ . It is an easy well-known fact that any commutative monoid can be embedded in another one where all cancellative elements become invertible. The composition of such an embedding with

w^{'}

$w'$ is then a master weight function

w^{″}

$w''$ , and

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$ , hence

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$ . QED

EDIT: A generalization of the clone–coclone duality above is now written up in

[1] E. Jeřábek, Galois connection for multiple-output operations, preprint, 2016, arXiv:1612.04353 [math.LO].

— Emil Jeřábek supports Monica
소스

이것을 작성하기 위해 노력한 것에 대해 대단히 감사합니다! 클론과 보편적 대수의 언어는 나에게 매우 추상적이기 때문에 그것을 소화하는 데 시간이 걸릴 것입니다. 그러나 우리가 구체적으로 클론을 연구함에 따라, 실제로 우리가 알고있는 모든 예와 같이 그것들이 불변량으로 특징 지워진다는 것을 아는 것이 유용합니다. (우연히, 불변 인으로 특징 지어지는 Fredkin + NOT를 보려면 입력 쌍 을 보고 모든 변환이 패리티의 합을 유지한다고 말합니까?)

— Scott Aaronson

Meanwhile, I have progress to report on the concrete question. I was able to classify all the points in the lattice above the Fredkin gate: the only possibilities are the transformations that preserve the Hamming weight mod k for any k, the transformations that either preserve or flip the Hamming weight mod 2 (generated by Fredkin+NOT), and all transformations. I can also characterize all points in the lattice above CNOTNOT: they're only the ones I listed in the OP (CNOTNOT+NOT, CNOT, Fredkin+NOTNOT, Fredkin+NOT, everything).

— Scott Aaronson

Yes, for Fredkin+NOT, we can take

M = C (2)

$M=C(2)$ ,

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$ . 업데이트 주셔서 감사합니다, 이것은 매우 좋은 소리.

— Emil Jeřábek은 Monica

물론 불변 인이 실제로 증거에서 벗어난 것보다 훨씬 작을 것이라는 희망이 있습니다. (포스트 사례에서 발생할 수있는 최악의 상황은

k \leq n + 1

$k\le n+1$ .) Galois 연결은 구체적인 분류에 직접적으로 도움이되지 않으며 방법론적인 도구입니다. 먼저, 어떤 종류의 속성을 찾아야하는지 알 수없는 경우 이전에 알 수없는 클래스를 찾는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 둘째, Post 분류 증명의 일반적인 단계는 다음과 같습니다. 우리는 수업에 도착했다

C

$C$ 격자 중앙 어딘가에 있고 그 위의 클래스를 설명하고 싶습니다. ...

— Emil Jeřábek는 Monica

...

C

$C$ 변하지 않는 관계에 의해 결정됩니다

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$ . 그런 다음 적절한 확장

C

$C$ 포함해야합니다

f

$f$ 일부를 보존하지 않는

R_{i}

$R_i$ 일반적으로 조작 할 수 있습니다

f

$f$ 적은 수의 변수에서 특정 함수로 구성 등에 의해. 이런 식으로,리스트를 얻는다

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$ 모든 클래스가 엄격하게 위의

C

$C$ 에 의해 생성 된 클래스를 포함

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$ 일부

i

$i$ 위의 격자 부분으로 진행할 수 있습니다. 이것은 일반적인 서신이 필요하지 않지만 특정 클래스의 불변성을 아는 것은 알고 있습니다.

— Emil Jeřábek은 Monica