Lipton의 가장 영향력있는 결과

리차드 제이 립튼 (Richard J. Lipton) 은 "새로운 아이디어와 기법 소개"로 2014 Knuth Prize의 수상자로 선정되었습니다 .

Lipton이 개발 한 새로운 주요 아이디어와 기법은 무엇입니까?

노트. 이 질문은 커뮤니티 위키가 될 것입니다. 답변 당 하나의 아이디어, 기술 또는 결과를 입력하십시오.

평면 구분 정리 상태 임의의 평면에서 -vertex 그래프 G 의 세트가 존재 O를 ( $n$$G$제거 된 그래프는 적어도 두 개의 대략 균형 잡힌 구성 요소로 연결이 끊어진 채로 있습니다. 또한, 이러한 세트는 선형 시간에서 찾을 수 있습니다. Lipton과 Tarjan(Ungar의 이전 결과 개선)에의해 입증 된이 단단한 결과는 평면 그래프에서 알고리즘을 설계하는 강력한 도구입니다. 그것은 NP-hard 문제들과 개선 된 다항식 시간 근사화 알고리즘들에 대한 많은 정확한 하위 지수 시간 알고리즘을 제공합니다. 위키 백과 페이지를보면수많은 응용 프로그램을 탐색하기에 좋은 출발점이됩니다. Lipton과 Tarjan은 1980 년에 여러 응용 프로그램에 대한 세부 정보가 포함된초기 조사를 작성했습니다.$O(\sqrt{n})$

카프-립톤 정리 한다고 않는 다항식 크기 부울 회로를 가질 수 다항식 계층은 두 번째 단계로 축소.$\mathsf{NP}$

복잡성 이론에 대한이 정리의 두 가지 의미 :

• 아마도 다항식 크기의 부울 회로가 없을 것입니다. 따라서 회로 크기에 대한 하한을 증명하는 것은 복잡성 클래스를 분리하기위한 가능한 접근 방법입니다.$\mathsf{NP}$
• 복잡성 분류 분리 (예 : Kannan의 정리)를 증명하기 위해이 정리를 기반으로하는 몇 가지 결과가 있습니다.

영구 불변의 자기 자신 . 립톤 보였다 알고리즘이 존재하는 경우 정확하게의 영구 계산한다는 것을 모든 분획 F N × N , F는 유한 크기의 필드에 이상이고 3 N ,이 알고리즘으로 사용할 수있다 블랙 박스의 영구 계산하는 임의의 높은 확률 행렬.$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

주된 아이디어는 영속성이 낮은 다항식이므로, 일 변량 아핀 함수 은 낮은 일 변량 다항식 ( x )이며 보간법을 통해 적은 수의 값에서 정확하게 배울 수 있습니다 . 컴포지션이 임의의 x 에 대한 랜덤 매트릭스의 영구적으로 분포되도록 랜덤 B를 선택할 수 있습니다 . 에서, X = 0 단 변량은 다항식의 영구적 . 자세한 내용은 Arora Barak의 8 장 에서 확인할 수 있습니다 .$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

이 대수적 접근 방식은 복잡성 이론에 큰 영향을 미쳤습니다. Lipton의 아이디어는 결국 IP = PSPACE 정리 증명, PCP 정리 증명 및 로컬 오류 수정 코드의 결과로 이어졌습니다.

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돌연변이 시험 은 Lipton에 의해 발명되었습니다. 돌연변이 테스트 는 테스트 스위트의 품질 또는 효과를 측정하는 방법으로 볼 수 있습니다. 핵심 아이디어는 테스트 할 프로그램에 결함을 주입하는 것 (즉, 프로그램을 변경하는 것), 바람직하게는 인간 프로그래머가 만들 수있는 결함의 종류, 테스트 스위트가 도입 된 결함을 찾는 지 확인하는 것입니다. 결함 돌연변이 시험의 종류의 전형적인 예는 x> 0을 x <0으로 대체하거나 x를 x + 1 또는 x-1로 대체하는 것일 수 있습니다. 테스트 스위트가 발견 한 결함 비율은 테스트 스위트의 "돌연변이 적합성 점수"입니다. 매우 느슨하게 말하면, 이것은 돌연변이 적정성 점수를 계산하기위한 Monte-Carlo 방법으로 생각할 수 있습니다.

좀 더 추상적으로 말하자면, 돌연변이 테스트는 프로그램과 테스트 스위트 사이에 대칭 또는 이중성을 가져 온다고 말할 수 있습니다. 테스트 스위트의 품질에 대한 신뢰를 얻는 데 사용됩니다.

이 이중성에 비추어, 돌연변이 테스트는 개념적으로 결함 주입에 가깝습니다 . 둘 다 기술적으로 비슷하지만 목적이 다릅니다. 돌연변이 테스트는 테스트 스위트의 품질을 측정하는 반면 결함 주입은 프로그램의 품질, 일반적으로 오류 처리의 품질을 확립하려고합니다.

최근에, 돌연변이 테스트의 아이디어는 논리 이론을 테스트 (형식화)하는 데 사용되었습니다. (4)의 개요를 역설하기 위해 : 정리 증명에서 사소한 형식화를 개발할 때, 많은 시간이 사양과 이론을“투쟁”하는 데 바쳐진다. 일반적으로, 실패한 증명 시도 중에 잘못된 스펙 또는 이론이 발견됩니다. 이것은 비싼 형태의 디버깅입니다. 따라서 증거를 시작하기 전에 추측을 테스트하는 것이 종종 유용합니다. 가능한 방법은 추측의 자유 변수에 임의의 값을 할당 한 다음 평가하는 것입니다. (4) 돌연변이를 사용하여 사용 된 테스트 케이스 생성기의 품질을 테스트합니다.

역사 . (1)에서 : 돌연변이 시험의 역사는 Richard Lipton에 의해 학생 논문에서 1971 년으로 거슬러 올라갈 수 있습니다. [...]이 분야의 탄생은 Lipton et al.에 의해 1970 년대 후반에 출판 된 다른 논문에서도 확인할 수 있습니다. 햄릿 (3)뿐만 아니라 (2).

1. 돌연변이 테스트 저장소 : 돌연변이 테스트 이론 .

2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, 테스트 데이터 선택에 대한 힌트 : 실습 프로그래머를위한 도움말 .

3. RG Hamlet, 컴파일러를 이용한 테스트 프로그램 .

4. S. Berghofer, T. Nipkow, Isabelle / HOL에서의 무작위 테스트. .

Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Lemma 는 산술 복잡성의 기본 도구입니다. 산술 회로가 다항식을 나타내는 지 여부를 알고 싶다면 한 입력에서 회로를 평가하기 만하면됩니다. 그러면 회로가 0 다항식을 나타내지 않으면 좋은 확률로 0이 아닌 값을 얻을 수 있습니다.

이 문제에 대해 다항식 시간 결정 알고리즘이 알려져 있지 않기 때문에 이것은 특히 중요한 정리입니다.

기본형은 일반적으로 Schwartz-Zippel Lemma 로 알려져 있습니다. 이 정리의 역사는 Lipton의 블로그 에서 찾을 수 있습니다 .

벡터 덧셈 시스템 에서 의 적용 가능성 은 EXPSPACE-hard : RJ Lipton에서, 접근성 문제는 지수 공간을 필요로한다고 연구 보고서 63, Yale University, 1976.

$d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$$v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$. 1978 년 C. Rackoff에 의해 입증 된 EXPSPACE 상한과 결합 된 Lipton의 결과는 EXPSPACE의 완성도를 보여줍니다.

$v_n=v$

다자간 통신의 복잡성 과 번호 - 온 - 이마 모델에 의해 소개되었다 쇼크 K. 찬드라 에서, 메릭 L. Furst와 리처드 J. 립톤 다자간 프로토콜 : STOC 1983 년 도이 10.1145 / 800061.808737 .

다자 모델은 Alice와 Bob이 각각 입력 비트의 겹치지 않는 절반을 가지며 전체 입력의 미리 결정된 기능을 계산하기 위해 통신하려는 Yao 의 2 자 통신 복잡성 모델의 자연스러운 확장입니다 . 그러나 입력 비트의 파티션을 더 많은 당사자로 확장하는 것은 종종 흥미롭지 않습니다 (하한의 경우 일반적으로 처음 두 당사자를 고려할 수 있음).

대신 NOF 모델에서 $k$ 각 당사자는 일련의 숫자 중 하나를 제외한 모든 것을 알고 있습니다. $k$ integers, with the number not known to the party notionally "displayed on their forehead" for the other parties to see. Nowadays the numbers are usually required to be non-negative integers represented using at most $n$ bits. The parties want to compute some pre-arranged Boolean function of all the numbers. The question is: for which functions can this be done efficiently?

It is always possible to just send $n$ bits (for instance, by the second party telling the first party the number on its forehead).

The paper gives a non-trivial but essentially optimal protocol for the function Exactly-$N$, which is true when the sum of the $k$ numbers is $N$. In particular, $k=3$ parties can determine Exactly-$N$ using $O(\sqrt{\log N})$ bits. Since $N \le k(2^n-1)$, this is $O(\sqrt{n})$ bits. The lower bound argument is Ramsey-theoretic, via a multidimensional form of Van Der Waerden's theorem.

The NOF model has been used in much subsequent work in circuit complexity: multiparty communication lower bounds naturally translate into circuit lower bounds. One classic example is the link made by Håstad and Goldmann in 1991 (doi:10.1007/BF01272517 between fixed-depth threshold circuits of polynomial size, and the multiparty NOF communication complexity of the Inner Product function: a nontrivial lower bound for IP with a more than logarithmic number of parties would yield circuit size lower bounds for TC$^0$.

In the original paper the multiparty model was linked to branching program lower bounds, yielding that any constant-space branching program for Exactly-$N$ requires superlinear length.