정점 세트에서 동등성 관계를 갖는 그래프 동형

컬러 그래프는 튜플로 설명 할 수 있습니다 $(G,c)$ 어디 $G$ 그래프이며 $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$착색입니다. 두 개의 컬러 그래프$(G,c)$ 과 $(H,d)$ 동형이 존재하는 경우 동형이라고한다 $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ 착색이 준수되도록, 즉 $c(v) = d(\pi(v))$ 모든 $v \in V(G)$.

이 개념은 매우 엄격한 의미에서 컬러 그래프의 동형을 캡처합니다. 동일한 지역에 대해 두 개의 정치지도가 있지만 서로 다른 색상 세트를 사용하는 경우를 고려하십시오. 그들이 같은 방식으로 채색되어 있는지 묻는다면, 두지도의 색상이이 매핑을 통해 일치하도록 두 색상 세트 사이에 이등 식 매핑이 존재하는지 여부를 의미한다고 가정합니다. 이 개념은 컬러 그래프를 튜플로 설명하여 공식화 할 수 있습니다.$(G,\sim)$ 어디 $\sim$ 의 정점 집합에 대한 등가 관계입니다 $G$. 그런 다음 두 개의 그래프를 말할 수 있습니다.$(G,\sim_1)$ 과 $(H,\sim_2)$ 동형이 존재하는 경우 동형 $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ 모든 쌍을 위해 $v_1,v_2 \in V(G)$ 그것은 보유

내 질문은이 개념이 정식 형태 등을 찾기 위해 이전에 연구되었는지 여부이며, 그렇다면 어떤 이름으로 알려져 있습니까?

당신이 설명하는 문제는 분명히 고려되었습니다 (저는 대학원에서 그것을 논의하고 그 전에 이미 논의 된 것을 기억합니다). 그러나 문헌에서 특정 언급을 지적 할 수는 없습니다. 아마도 다음과 같이 무색 그래프 동형에 선형 적으로 동일하기 때문에 (정규 형식에서도 마찬가지입니다). EQ-GI를 설명하는 문제를 부르십시오.

GI는 각 그래프가 모든 정점으로 구성된 하나의 동등성 클래스를 갖는 EQ-GI의 특별한 경우입니다.

다른 방향으로 EQ-GI를 GI로 줄이려면 $(G, \sim_G)$ 와 동등한 관계를 가진 그래프이다 $n$ 정점, $m$ 가장자리 $c$동등성 클래스. 그래프 구성$G'$ 정점 세트는 정점으로 구성됩니다. $G$새로운 꼭짓점과 함께 $v_1, \dotsc, v_c$각 등가 클래스에 대해 $=_G$, 만큼 잘 $n+c+1$ 새로운 정점 $w_0, \dotsc, w_{n+c}$. 연결$w_i$경로에 $w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$각 연결 $v_i$ 에 $w_0$그리고 모든 정점에 대해 $G$해당 동등성 클래스 정점에 연결 $v_i$. 그때$G'$ 기껏해야 $n + 2c + n +1 \leq O(n)$꼭짓점은 본질적으로 동일한 시간 제한으로 구성 될 수 있습니다. (또한 최대$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$ 가장자리-어느 $O(m)$ 연결된 그래프의 경우-대부분의 GI 알고리즘에는 본질적으로 의존하는 실행 시간이 있기 때문에 다소 관련성이 없습니다. $n$.)

업데이트 : 의견에 약간의 혼란이 있었으므로 위의 주장의 정확성에 대한 스케치를 여기에 추가합니다. 주어진$(G_1, \sim_1)$ 과 $(G_2, \sim_2)$, 허락하다 $G_1'$ 과 $G_2'$위와 같이 구성된 그래프 여야합니다. 허락하다$v_{i,1}$ 꼭짓점을 나타내 다 $v_i$ 위에서 $G_1'$, $v_{i,2}$ 에 하나 $G_2'$및 유사하게 $w_{i,1}$ 과 $w_{i,2}$. 동형이있는 경우$G_1' \cong G_2'$을 보내야합니다. $w_{i,1}$ 에 $w_{i,2}$ 모든 $i$, 각 그래프에서 $w_{n+c}$ 길이가 적어도 모든 경로의 끝점 인 고유 정점입니다. $n+c+1$. 특히,$w_{0,1}$ 에 매핑 $w_{0,2}$. 이웃부터$w_0$ 그렇지 않다 $w_1$ 정확히 $v_i$동형이 집합을 매핑해야합니다. $\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$ 세트로 $\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$ (특히 둘 다 $\sim_1$ 과 $\sim_2$ 같은 숫자 여야합니다 $c$등가 클래스). 동 형사상을 보낼 필요는 없습니다.$v_{i,1}$ 에 $v_{i,2}$ 모든 $i$의 지수를 퍼뜨리는 것은 허용되지만 $v$해당 동등성 클래스가 서로 맵핑 될 수있는 한입니다. 반대로, 동형이 어떻게$G_1'$ 과 $G_2'$ 볼 수 있다면, 쉽게 볼 수 있습니다 $(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$ 그러면 동형이됩니다 $G_1' \cong G_2'$.

나는 여호수아의 정답에서 당신의 마지막 의견을 읽었습니다. EQ-GI를 컬러 GI로 변환해야하는 경우 (즉, 등가 클래스에 할당 된 색상에 문제가있는 경우) 다음 축소를 사용할 수 있습니다.

시작 그래프가 $G_1 = (V_1, E_1)$, $G_2 = (V_2, E_2)$ 그리고있다 $q$동등성 클래스; 각 그래프에 "permutator", 즉 완전한 그래프를 추가 할 수 있습니다.$|V_1|+1=|V_2|+1$ 노드 ($K'_{|V_1|+1}$,$K''_{|V_2|+1}$) 및 사용 $q+1$ 그림 물감 $c_1,...,c_q,c_{q+1}$.

둘다 $K'$ 과 $K''$, $q$ 노드는 구별되고 $c_1,...,c_q$ 나머지 노드는 $c_{q+1}$. 노드$G_1$ 색깔이있다 $c_{q+1}$ 동일한 동등성 클래스의 노드는 $K'$; 의 노드$G_2$ 색깔이있다 $q+1$ 동일한 동등성 클래스의 노드는 $K''$.

또한 색상을 삭제하고 동등한 GI 인스턴스를 얻을 수 있습니다 :-)

귀하의 의견에있는 예제에 대응하는 축소 핵심