순열 관련 문제의 복잡성

[ n ] = { 1 , ⋯ , n } 에 두 개의 순열 그룹 와 두 개의 벡터 u , v ∈ Γ n 여기서 Γ 는 여기에 관련이없는 유한 알파벳이며, π ∈ 가 존재하는지 여부는 문제입니다. G 는 π ( u ) = v입니다. 여기서 π ( u ) 는 u 에 순열 π 를 예상 한 방식으로 적용하는 것을 의미합니다 .$G$$[n]=\{1, \cdots, n\}$$u,v\in \Gamma^n$$\Gamma$$\pi\in G$$\pi(u)=v$$\pi(u)$$\pi$$u$

$G$ 가 입력으로서 유한 세트 의 생성기 $S$ 에 의해 주어진 다고 가정하자 . 문제의 복잡성은 무엇입니까? 특히 NP입니까?

보자. 여기서 S n 은 n 개의 원소 에 대한 순열 그룹 이다. 테스트 여부 g ∈ ⟨ g 1 , ... , g (K) ⟩이 수행 될 수 NC ⊆ P [1]에 의해. 하자 유 , V는 ∈ Γ는 N , 단순히 추측 g ∈ S , N , 다항식 시간 테스트 여부 g ∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$및 인지의 여부 . 이것은 NP 상한을 산출합니다 .$g(u) = v$$\text{NP}$

이 답변을 보완하려면 :

그룹 멤버쉽은 (Furst et al. 1980)에 이어, 아벨 리아 그룹의 경우 NC 3 (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), 전능하지 않은 그룹의 경우 NC (Luks & McKenzie 1988), 해결할 수있는 그룹 (Luks & McKenzie 1988), 비-아벨 리아 구성 요소가있는 그룹 (Luks 1986), 마지막으로 모든 그룹 (Babai et al. 1987). 비 주기적 모노 이드 멤버쉽의 유사한 복잡한 분류는 고정 된 비 주기적 모노 이드 종류에 대한 멤버쉽이 AC 0 , P , NP , 또는 PSPACE에 있음을 보여주는 (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977)으로 인해 발생합니다.$\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (그리고 거의 예외없이 해당 클래스에 대해 완료하십시오).

[1] L. Babai, EM Luks & A. Seress. NC의 순열 그룹. Proc. 계산 이론, PP. 409-420, 1987 연간 ACM 심포지엄.$19^\text{th}$

귀하의 문제는 (로 알려져있다 문자열 -) G의 -isomorphism. Graph Isomorphism과 관련하여 상당히 좁은 종류의 문제가 있습니다. 적어도 GI만큼 어렵고 N P ∩ c o A M 입니다.$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

GI에서 절감 할 수 , 및하자 의 유도 작용 될 쌍. G≤SNS의$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

G u v u $\mathsf{coAM}$ 프로토콜 : 아서 무작위의 요소 선택 (내가 확인이 정확히 균일하게 수행 할 수 있습니다 아니지만, 내가 알려진 알고리즘이 결과에 대한 균일에 가까운 충분히 얻을 생각) 모두에 적용 와 . 확률 1/2로 와 를 교환 한 다음 Merlin에 제시하고 어느 것을 묻습니다.$G$$u$$v$$u$$v$