코셋 교차로 문제의 복잡성

대칭 그룹 주어 두 서브 그룹 G , H ≤ S , N , 및 π ∈ S , N , 수행은 G π ∩ H = ∅ 보류?$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

내가 아는 한, 문제는 코셋 교차로 문제입니다. 복잡성이 무엇인지 궁금합니다. 특히이 문제가 coAM에있는 것으로 알려져 있습니까?

더욱이 가 아벨 리안으로 제한 된다면 , 복잡성은 어떻게됩니까?$H$

적절한 지수 시간 및 (설명 된 문제와 반대되는 경우 : Coset 교차점은 일반적으로 Cosets가 OQ에 명시된 방식과 교차하는 경우 "예"답변으로 간주됩니다.)$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( 무료 저자 사본 )는 시간 알고리즘을 제공 한 반면 Babai (1983 박사 학위 논문, Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 및 To -appear 저널 버전 참조)는 2 ~ O ( $2^{O(n)}$-시간 알고리즘으로 현재까지 가장 잘 알려져 있습니다. 그래프 동형이 2 차 크기의 코셋 교차로 감소하기 때문에, 이것을2 ~ O (n 1 / 4 - ϵ )로개선하면 그래프 동형에 대한 최신 기술이 개선 될 것이다.$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

보완, 즉 여부를 테스트 해야하는 경우를 고려하십시오 . I는 지적 된 바와 같이 이 응답 테스트 여부 g ∈ ⟨ g 1 , ... , g (K) ⟩ IS에서 NC ⊆ P [1]. 따라서 g , h ∈ S n을 추측 하고 g ∈ G , h ∈ H 및 g π = h 인지 다항식 시간으로 테스트 할 수 있습니다 . 이것은 NP를 산출$G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$상한이므로 문제는 입니다.$\text{coNP}$

편집 : [2, Thm. 15] 코셋 교차 문제는 . 여기 에 언급 된 바와 같이 , p. 도 7에서, 다항식 시간 계층 구조가 붕괴되지 않는 한, 코셋 교차 문제는 NP- 완전하지 않다. 또한 여기 에 언급되어 있습니다 . 도 6에 도시 된 바와 같이, Lus 는 H abelian 의 경우를 포함하여 H 가 풀릴 수 있을 때 문제가 P에 있음을 보여 주었다 .$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks & A. Seress. NC의 순열 그룹 . Proc. 컴퓨팅 이론에 관한 19 차 연례 ACM 심포지엄, pp. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. 모란. Arthur-Merlin 게임 : 무작위 증명 시스템과 복잡한 클래스 계층 . 컴퓨터 및 시스템 과학 저널, vol. 36, 2 호, pp. 254-276, 1988.