다항식 GI가 다항식 (가장자리) 색상 GI를 의미 할 때?

MO 에서 크로스 포스트 .

(가장자리) 컬러 그래프 동형은 GI이며 (가장자리 색상 인 경우 가장자리의) 색상을 유지합니다.

(가장자리) 색상의 GI에서 GI 로의 변환 / 가젯을 사용하여 몇 가지 축소가 있습니다. 엣지 컬러 GI의 경우 가장 간단한 방법은 컬러를 인코딩하는 GI 보존 가제트로 컬러 엣지를 대체하는 것입니다 (엣지를 충분히 세분화하는 것이 가장 간단한 경우입니다). 버텍스 컬러 GI의 경우 가젯을 버텍스에 연결하십시오.

GI가 일부 그래프 클래스 대해 다항식이라고 가정합니다 . $C$

Q1 다항식 GI는 다항식 (가장자리) 컬러 GI를 의미합니까? $C$

가제트와 함께 축소를 사용하면 그래프가 멤버가 아닐 수 있습니다 . $C$

반면에 특정 가젯 / 변환은 그래프를 다른 다항식 GI 클래스의 멤버로 만들 수 있습니다.

모서리 색 감소의 예 . $G \to G'$

클릭하십시오 . 컬러 엣지 와 및 비 - 가장자리 . 를 유지 하고 에서 를 복구 하는 것은 채색 된 모서리를 로하는 것 입니다. 는 클릭, 그래프, 순열 그래프이며 다른 많은 멋진 클래스에서 거의 확실합니다. 가장자리를 홀수로 세분화하면 ( 구별하지 않음) 색이 제거되고 완벽한 이분 그래프를 만들어 동 형사상을 유지합니다. $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

어쩌면 또 다른 접근법은 의 선 그래프를 가져 와서 해당하는 정점에 연결된 펜던트 (범용) 정점을 추가하는 것 입니다. $G'$ $E(G')$

Q2 유사한 구조를위한 멋진 가제트 / 변형이 있습니까?

동일한 색상의 경우 한 색상의 경우 을 유지하는 평면 가제트를 사용하여 의 보편적 인 그림을 선택하고 모서리 교차를 대체하여 를 평탄화하는 것에 대해 생각했습니다 . 이것이 동형화를 유지하는지 모릅니다. $G'$ $C_4,C_6$

또 다른 가능한 방법은 착색 보존 동형이거나 모든 가장자리 분할 할 수 3 색 사용, 정점에 대한 및 인식하려고 자기를 와 교환하는자가 형성에 의한 상보 적 그래프 . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 세분의 자동 형성 그룹은 다루기 쉬운가? $K_n$

초기 조건 몇 개 이후의 주문 은 A052565 인 입니다. $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima는 충분히 쉬울 수 있으며 초기 용어는 예외 라고 제안합니다 . $n$

4 분기가 정점의 세분화 색 감안할 에 대한 과 높은 수준의 정점 색깔하는 자사의 동형 그룹 , 어느 정도 있다 다른이 , 교환 동형 찾을 수있는 복잡성 무엇인가 과 ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

추가 용지를 케일리 그래프 페이지 86 인식에 주장 :

Cayley 그래프의 클래스 C와 n 꼭지점 및 m 가장자리의 모서리 색 그래프 G가 주어지면, 우리는 동형이 존재하는지 여부를 확인하는 문제에 관심이 있습니다. C에서 생성 세트의 요소에 의해 색상이 지정됩니다. 이 논문에서 우리는 G (Gy)가 Cayley 그래프와 색상이 같은지 확인하기 위해 O (m log n)-시간 알고리즘을 제공합니다.

이것은 질문에 가깝게 나타납니다. 관련이 있습니까?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— 조로
소스

자서전과 관련이 있습니다. 유색 가장자리 (u, v, c)는 하이퍼에 지로 취급 될 수 있으며 그래프에 대한 축소 하이퍼 그래프가 있습니다.

— joro

Q2 : 다음 을 증명하는 데 사용되는 그래프 레이블 가젯이 좋은 예입니다.

정리 : 평면 3 연색 GI 평면 3 연 GI $\leq_T^L$

Thomas Thierauf, Fabian Wagner : 평면 3 연결 그래프의 동형 문제가 명확한 로그 공간에 있음을 참조하십시오 . 이론 계산. 시스. 47 (3) : 655-673 (2010)

사용 된 "라벨 가젯"은 3 개의 연결성 및 평면성 제약 조건을 유지합니다.

— 마르 지오 데 비아시
소스

감사. 다른 질문은 어떻습니까?

— joro

C

$\mathcal{C}$

다시 질문 1 : 당신이 흥미로운 질문을 찾으면 물어보십시오. 또는 Q1.1 로 인해이 질문을 편집 할 수도 있습니다. 맥주를 마시면서 몇 가지 생각 :). (가장자리) 색깔의 그래프는 사소하게 나에게 hypergraph로 나타납니다. HGI는 IIRC 축소를 통해 GI만큼 쉽습니다. 제한된자가 형성 의 일부 경우 는 NP- 완료이고 일부는 다항식 IIRC입니다.

— joro

질문에 관련성이있는 논문을 추가했습니다.

— joro

부분 답, 충분한 그룹 이론을 이해하지 못하지만, 두 개의 논문이 부분적인 결과를주는 것으로 보입니다.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

이 백서 는 다음과 같이 주장합니다.

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

"가장자리 색"의 정확한 정의는 명확하지 않습니다.

circulant GI를 증명하는 논문은 p.1 주장에 대한 각주에서 다항식 입니다.

그래프는 일반 그래프, 그래프 또는 가장자리 색 그래프를 의미합니다.

MO 에 착색에 대한 제한 사항이 무엇인지 묻습니다.

— 조로
소스