유한 언어에 대한 XOR 오토마타 (NXA)는주기의 이점을 제공합니까?

NXA (Non-deterministic Xor Automata)는 구문 상 NFA이지만 NFA의 경우 수용 경로 수가 홀수 인 경우 (NFA 경우 하나 이상의 허용 경로 대신) NXA에서 단어를 수락한다고합니다.

유한 한 정규 언어 , 어떤 주기도 포함하지 않는 최소 NFA가 존재 한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 (주기가 초기 상태에서 도달 할 수 있고 받아 들일 수있는 상태로 전환되는 경우-언어가 아닙니다) 한정된).$L$

반드시 NXA의 경우는 아닙니다.

넣어야 XOR 상태 복잡도 언어의 L ,$xsc(L)$$L$

및 의해 X 의 C ( L ) 의 비순환 XOR 상태 복잡도 L (즉, 가장 작은 허용 비순환 NXA 크기 L을 ).$axsc(L)$$L$$L$

모든 유한 언어 : a x s c ( L ) = x s c ( L )에 대해 사실 $L$

$$axsc(L)=xsc(L)\ ?$$

나는 그 대답이 긍정적이라고 생각합니다. 더 간단한 증거가있을 수 있지만 여기에 선형 대수를 사용하는 증거의 스케치가 있습니다.

domotorp 같이, 우리는의 구성 볼 것이다 N 의 벡터 - 상태로 오토 마톤을 XOR V = GF (2) ^N .

하자 L은 알파벳 Σ = {1, ..., 이상 유한 한 언어가 될 K },과에 대한 XOR 자동 기계 고려 L 상태의 최소 번호를. n 을 상태 수라고 하자 . 상태에 레이블이 1,…, n 이고 상태 1이 초기 상태 라고 가정합니다 .

먼저 우리는 표기법을 설정했습니다. 하자 V ₀ = (1, 0, ..., 0) ^T ∈ V가 초기 상태에 대응하는 기본 벡터, 그리고하자 S는 그 행 벡터 일 수 I 번째 입력 한 경우에만 주 경우 나 받아들이는 상태이다. 부분 공간에서 R = { V : S V 의 = 0} V의 거부 구성 벡터에 대응한다.

각 a ∈Σ에 대해 A _a 를 문자 a 에 의한 전이를 나타내는 GF (2)에 대한 n × n 행렬로 가정 합니다 . 예를 들어, 입력 문자열 a b를 읽은 후의 구성 벡터 는 A _b A _a v ₀ 입니다. 문자열 σ = a ₁ … a _{t의 경우} , 곱 A _{a t} … A _{a 1} by M ( σ )을 나타냅니다. S = { A ₁ 이라고하자,…, A _k }.

부분 공간 W 의 V는 것으로 알려져 S - 불변 때 W ⊆ W 마다 ∈ S . 구성 벡터에 간다 일단 우리의 맥락에서,이 수단은 W , 밖으로 방법이 없습니다 W 이상의 문자를 읽어.

이 XOR 오토 마톤에는 최소 개수의 상태가 있으므로 다음과 같은 속성이 있습니다.

• v ₀ 을 포함 하는 V 의 유일한 S 비 변형 부분 공간 은 V 자체입니다. W 가 v _0을 포함 하는 적절한 S- 불변 부분 공간 인 경우 , V 대신 W 를 사용하여 최소값 과 모순 되기 때문 입니다.
• R에 포함 된 유일한 S 불변 부분 공간 은 {0}입니다. 이 때문에 경우 W가 있는 사소 S -invariant 부분 공간에 포함 된 R , 우리는 몫 벡터 공간을 사용할 수 V / W를 대신 V 다시 minimality 모순.

때문에 L이 한정되어하게 m은 임의의 문자열 길이보다 큰 정수 L .

렘마 1 . 길이가 m 이상인 문자열 σ 에 대해 M ( σ ) = 0입니다.

증명. 먼저 길이가 m 이상인 문자열 σ 에 대해 M ( σ ) v ₀ = 0 임을 증명합니다 . 하자 W는 의 서브 스페이스 수 V가 함으로써 스팬 { M ( σ ) V ₀ : σ는 최소 길이의 문자열 m }. 정의상, W 는 S- 불변이다. 문제의 XOR 자동 기계는 이러한 문자열은 거부하기 때문에 σ , W가 에 포함되어 R . 따라서 W = {0}은이러한 모든 문자열 σ에 대해 M ( σ ) v ₀ = 0입니다 .

이제 모든 벡터 v ∈ V를 고려하십시오 . v ₀ 을 포함 하는 V 의 유일한 S 비 변형 부분 공간 은 V 자체이므로, v 는 일부 문자열 τ에 대해 M ( τ ) v ₀ 형식의 벡터의 선형 조합으로 작성 될 수 있습니다 . 왜냐하면 M ( σ ) M ( τ ) V ₀ = M ( τ σ ) V ₀= 0 (후자의 등식은 τ σ 의 길이가 m 이상 이므로 이전 단락에서 따름 ), M ( σ ) v = 0을 유지합니다. ■

우리는 선형 대수에서 한 가지 더 사실이 필요합니다.

렘마 2 . 하자 A가 ₁ , ..., _K가 될 N × N 필드 위에 행렬 및 정의 M ( σ를 상기와 같이). 이 경우 m ≥0되도록 M ( σ는 모든 캐릭터에 대한) = 0 σ 적어도 길이 m 후, 행렬 ₁ , ..., _k는 에 엄격 하 삼각 행렬 (즉, 존재 동시에 유사한 N을 행렬 P ^-1 A가 되도록 × n 비단 수 행렬 P₁ P ,…, P ^-1 A _k P 는 엄밀히 더 낮은 삼각형).

k = 1 의 경우는 전능하지 않은 행렬의 잘 알려진 특성이며, Lemma 2는 같은 방식으로 증명 될 수 있습니다.

이제 기호 a ∈Σ에 해당하는 전이 행렬 이 P ^-1 A _a P 로 주어지고 초기 구성 벡터가 P ^-1 v _0으로 주어지고 특성 (행) 벡터가 있는 n- 상태 XOR 오토 마톤을 고려하십시오. 수용 상태는 s P에 의해 주어진다 . 구성에 의해이 XOR 오토 마톤은 동일한 언어 L을 허용합니다.. 전이 행렬은 엄격하게 삼각이 낮기 때문에이 XOR 오토 마톤의 모든 전이 에지는 인덱스가 작은 상태에서 더 큰 인덱스가있는 상태로 이동하므로이 XOR 오토 마톤은 비순환입니다. 초기 구성 벡터는 둘 이상의 1을 가질 수 있지만, 상태 수를 늘리거나 비순환 성을 망치지 않고 동일한 언어에 대해 단일 초기 상태를 갖는이 XOR 오토 마톤을 일반적인 XOR 오토 마톤으로 쉽게 변환 할 수 있습니다.

나는주기가 단항 알파벳보다 도움이되지 않음을 증명할 수 있다고 생각합니다.

$M$$F_2$$v_n$$F_2$$\mod 2$$n$$v_n=M^nv_0$$v_0=(1,0,..,0)$$t$$s\cdot v=0$$s$$M^n$$s\cdot v_n=0$